Seja R a região no primeiro quadrante do plano- x y, limitada pelos eixos de coordenadas e a curva y=1-x^2. Seja C a borda de R, no sentido antihorário.
Calcule ointC x d s;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
ointC x,ds
onde C é a curva que borda a região R no primeiro quadrante limitada pelos eixos x, y e pela parábola y=1-x^2, no sentido anti-horário.
O que vamos usar: decompor C em três trechos (eixo x, curva y=1-x^2 e eixo y) e, em cada trecho, parametrizar a curva, calcular ds e integrar x,ds.

Passo 2

Trecho C1: eixo x, de (0,0) a (1,0).
Parâmetro tin[0,1],
x(t)=t, y(t)=0, ds=raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt=raiz1+0,dt=dt
Logo
integralC1x,ds=integral0^1tcdot1,dt=[tfract^22]0^1=tfrac12

Passo 3

Trecho C2: curva y=1-x^2, de (1,0) a (0,1).
Usamos x(t)=t, y(t)=1-t^2 com t indo de 1 a 0.
Então
dx=dt, dy=-2t,dt, ds=raiz1+(dy/dx)^2,|dx| =raiz1+4t^2,|dt|
Como vamos de t=1 a t=0, |dt|=-dt, e
integralC2x,ds =integral1^0traiz1+4t^2,(-dt) =integral0^1traiz1+4t^2,dt
Faça u=1+4t^2, du=8t,dt!:
integral0^1traiz1+4t^2,dt =integralu=1^5raizu8,du =18cdot23l[u^3/2r]1^5 =112l(5^3/2-1r)

Passo 4

Trecho C3: eixo y, de (0,1) a (0,0).
Aqui x=0 constante, logo
integralC3x,ds=0

Passo 5

Somando os três trechos:
ointC x,ds =12+112l(5raiz5-1r)+0 =6+(5raiz5-1)12 =5+5raiz512 =5(1+raiz5)12

Resposta

ointC x,ds =5(1+raiz5)12

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