Seja
a região no primeiro quadrante do plano-
, limitada pelos eixos de coordenadas e a curva
. Seja
a borda de
, no sentido antihorário.
Calcule
;
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
onde
é a curva que borda a região
no primeiro quadrante limitada pelos eixos
,
e pela parábola
, no sentido anti-horário.
O que vamos usar: decompor em três trechos (eixo
, curva
e eixo
) e, em cada trecho, parametrizar a curva, calcular
e integrar
.
O que vamos usar: decompor
Passo 2
Trecho
: eixo
, de
a
.
Parâmetro ,
Parâmetro
Logo
Passo 3
Trecho
: curva
, de
a
.
Usamos ,
com
indo de
a
.
Então
Usamos
Então
Como vamos de
a
,
, e
Faça
,
!:
Passo 4
Trecho
: eixo
, de
a
.
Aqui constante, logo
Aqui
Passo 5
Somando os três trechos: