Previsão de Demanda de Produção Usando Séries de Taylor. Em um sistema de produção, a demanda de um determinado produto ao longo do tempo pode ser modelada por uma função contínua D(t), onde t representa o tempo em dias. Para pequenas variações de tempo, é desejável prever como a demanda D(t) se comporta em torno de um ponto específico t0.
Suponha que a demanda de produção seja modelada pela função não linear:
D(t)=e^0.05 t+sin (t)
A empresa deseja prever a demanda para os próximos dias, começando a partir do tempo t0=10 dias, utilizando uma aproximação com séries de Taylor em torno de t0.
Explique como essa técnica pode ser aplicada na engenharia de produção para fazer previsões de curto prazo e auxiliar no planejamento da linha de produção.

Passo 1

Neste exercício queremos prever a demanda de produção modelada por D(t)=e^0.05t+sin(t) para tempos próximos a t0=10 dias usando séries de Taylor. O conteúdo envolve expansão em série de Taylor e cálculo de derivadas, que ajudam a construir aproximações de ordem desejada.

Passo 2

A série de Taylor de uma função D(t) em torno de t0 é dada por
D(t)approx D(t0)+D'(t0)(t-t0)+D''(t0)2!(t-t0)^2+dots
Isso significa que usamos valores da função e suas derivadas no ponto t0 para estimar D(t) quando t varia pouco.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de D(t):
D'(t)=0.05,e^0.05t+cos(t),
D''(t)=0.05^2,e^0.05t-sin(t)

Passo 4

Agora avaliamos essas expressões em t0=10:
D(10)=e^0.5+sin(10),
D'(10)=0.05,e^0.5+cos(10),
D''(10)=0.0025,e^0.5-sin(10)
Opcionalmente você pode calcular valores numéricos para obter coeficientes concretos.

Passo 5

Com esses valores podemos montar, por exemplo, a aproximação linear (1ª ordem):
D(t)approx D(10)+D'(10),(t-10),
e, se quiser mais precisão para horizontes um pouco maiores, a quadrática (2ª ordem):
D(t)approx D(10)+D'(10)(t-10)+tfracD''(10)2(t-10)^2

Passo 6

Para aplicar na engenharia de produção, use essa previsão rápida de demanda para ajustar:
  • Taxa de produção: programe máquinas e turnos de acordo com a inclinação D'(10).
  • Estoques de matéria-prima: compre só o necessário, reduzindo custos de armazenagem.
  • Planejamento de pessoal: adicione ou remova operadores conforme a variação esperada.
  • Manutenção preventiva: agende paradas fora dos picos previstos.
    Assim, você consegue responder a flutuações de curto prazo de forma ágil e econômica.

Resposta

A técnica de séries de Taylor fornece uma estimativa rápida de D(t) para t próximo a t0=10 dias, usando os valores de D(10), D'(10) e, se necessário, D''(10). Com a aproximação linear ou quadrática podemos prever a demanda de curto prazo e usar esses números para ajustar a produção, estoques, pessoal e manutenção, tornando o planejamento mais preciso e econômico.

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