Prove que a curvatura da curva de Viviani, dada por r(t)= (1+cos t, sin t, 2 sin (t2) é dada por
kappa(t)=raiz13+3 cos t(3+cos t)^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura kappa(t) da curva de Viviani
r(t)=l(1+cos t,;sin t,;2sintfrac t2r)
Usamos a fórmula da curvatura para curva no espaço, em função do parâmetro t:
kappa(t)=llVert r'(t)times r''(t)rrVertllVert r'(t)rrVert^3

Passo 2

Calculemos as derivadas primeira e segunda:
r'(t)=l(-sin t,;cos t,;costfrac t2r), r''(t)=l(-cos t,;-sin t,;-tfrac12sintfrac t2r)

Passo 3

O comprimento de r'(t) é
llVert r'(t)rrVert^2 =sin^2t+cos^2t+cos^2tfrac t2 =1+cos^2tfrac t2 =1+1+cos t2 =3+cos t2,
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llVert r'(t)rrVert =raiz3+cos t2, llVert r'(t)rrVert^3 =l(3+cos t2r)^3/2

Passo 4

O produto vetorial r'(t)times r''(t) tem componentes
r'times r'' =l(M1,;M2,;1r),
onde, usando as fórmulas de meia-soma para sin t e cos t, obtém-se
M1 =-tfrac12cos t,sintfrac t2+sin t,costfrac t2 =(2+cos t)sintfrac t22, M2=-cos^3tfrac t2

Passo 5

Agora calculamos o quadrado da norma do produto vetorial em termos de
;c=costfrac t2, ;s=sintfrac t2:
llVert r'times r''rrVert^2 =M1^2+M2^2+1 =(2+cos t)^2,s^24+c^6+1 =13+3cos t8
Portanto
llVert r'times r''rrVert =raiz13+3cos t8 =raiz13+3cos t2raiz2

Passo 6

Por fim,
kappa(t) =raiz13+3cos t2raiz2 l(3+cos t2r)^3/2 =raiz13+3cos t(3+cos t)^3/2

Resposta

kappa(t)=raiz13+3cos t(3+cos t)^3/2

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