Prove que a curvatura da curva de Viviani, dada por
é dada por
Passo 1
O enunciado pede para calcular a curvatura
da curva de Viviani
Usamos a fórmula da curvatura para curva no espaço, em função do parâmetro
:
Passo 2
Calculemos as derivadas primeira e segunda:
Passo 3
O comprimento de
r'(t) é
logo
Passo 4
O produto vetorial
r'(t)times r''(t) tem componentes
onde, usando as fórmulas de meia-soma para
sin t e
cos t , obtém-se
Passo 5
Agora calculamos o quadrado da norma do produto vetorial em termos de
;c=costfrac t2 ,
;s=sintfrac t2 :
Portanto
Passo 6
Por fim,