Considere o campo vetorial
Ache uma função
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por
e precisamos encontrar uma função
tal que
. Isso significa que queremos encontrar uma função cuja derivada em relação a
dê a primeira componente de
e em relação a
dê a segunda componente. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente e integração de funções parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O gradiente de
é dado por:
Então, queremos que:
Nosso objetivo é encontrar
que satisfaça essas duas equações.
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
. Isso significa que vamos encontrar uma função
cuja derivada em
seja
:
Aqui,
é uma função que pode depender somente de
, porque quando fazemos a derivada em
, qualquer função que depende só de
desaparece.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação
para encontrar
. Diferenciando
em relação a
:
Igualando isso a
:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Essa é a função que procuramos, onde
é uma constante que pode ser qualquer número real.
Resposta
A função
que satisfaz
é:
onde
é uma constante real.