Considere o campo vetorial
F(x, y)=(6 x+5 y, 5 x+4 y)
Ache uma função f tal que F=nabla f

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por F(x, y) = (6x + 5y, 5x + 4y) e precisamos encontrar uma função f tal que F = nabla f . Isso significa que queremos encontrar uma função cuja derivada em relação a x dê a primeira componente de F e em relação a y dê a segunda componente. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente e integração de funções parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa F = nabla f . O gradiente de f é dado por:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Então, queremos que:
partial fpartial x = 6x + 5y e partial fpartial y = 5x + 4y
Nosso objetivo é encontrar f(x, y) que satisfaça essas duas equações.

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a x . Isso significa que vamos encontrar uma função f cuja derivada em x seja 6x + 5y :
f(x, y) = integral (6x + 5y) , dx = 3x^2 + 5xy + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que pode depender somente de y , porque quando fazemos a derivada em x , qualquer função que depende só de y desaparece.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação partial fpartial y = 5x + 4y para encontrar h(y) . Diferenciando f(x, y) em relação a y :
partial fpartial y = 5x + h'(y)
Igualando isso a 5x + 4y :
5x + h'(y) = 5x + 4y implies h'(y) = 4y
Integrando h'(y) em relação a y :
h(y) = integral 4y , dy = 2y^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos h(y) de volta na expressão de f(x, y) :
f(x, y) = 3x^2 + 5xy + 2y^2 + C
Essa é a função que procuramos, onde C é uma constante que pode ser qualquer número real.

Resposta

A função f que satisfaz F = nabla f é:
f(x, y) = 3x^2 + 5xy + 2y^2 + C
onde C é uma constante real.

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