Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcule o fluxo de através de . com
S é a superfície da região compreendida pelo cilindro circular e os planos e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície que é definida pelo cilindro e os planos e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que relaciona uma integral de superfície com uma integral tripla sobre o volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergente. Ele diz que a integral de superfície de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral tripla do divergente de sobre o volume que está dentro de . Matemáticamente:
Então, nossa missão será encontrar o divergente de e depois calcular essa integral tripla.
Passo 3
Vamos calcular o divergente de . O divergente de um campo vetorial é dado por:
Aplicando isso ao nosso :
Então,
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral tripla sobre o volume . Como a região é um cilindro com a base no plano e topo no plano , e o cilindro é , a melhor maneira é usar coordenadas cilíndricas.
Em coordenadas cilíndricas:
Nosso cilindro tem raio , varia de a e de a .
Passo 5
Vamos expressar o divergente em coordenadas cilíndricas: