Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integralegral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S. com
F(x, y, z)=x^3 i+y^3 j+z^2 k
S é a superfície da região compreendida pelo cilindro circular x^2+y^2=9 e os planos z=0 e z=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = x^3 i + y^3 j + z^2 k através da superfície S que é definida pelo cilindro x^2 + y^2 = 9 e os planos z = 0 e z = 2 . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que relaciona uma integral de superfície com uma integral tripla sobre o volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergente. Ele diz que a integral de superfície de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral tripla do divergente de F sobre o volume V que está dentro de S . Matemáticamente:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Então, nossa missão será encontrar o divergente de F e depois calcular essa integral tripla.

Passo 3

Vamos calcular o divergente de F . O divergente de um campo vetorial F = P i + Q j + R k é dado por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Aplicando isso ao nosso F :
P = x^3 Rightarrow partial Ppartial x = 3x^2
Q = y^3 Rightarrow partial Qpartial y = 3y^2
R = z^2 Rightarrow partial Rpartial z = 2z
Então,
nabla cdot F = 3x^2 + 3y^2 + 2z

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral tripla sobre o volume V . Como a região é um cilindro com a base no plano z = 0 e topo no plano z = 2 , e o cilindro é x^2 + y^2 = 9 , a melhor maneira é usar coordenadas cilíndricas.
Em coordenadas cilíndricas:
x = r cos theta
y = r sin theta
z = z
dV = r , dr , dtheta , dz
Nosso cilindro tem raio r = 3 , theta varia de 0 a 2pi e z de 0 a 2 .

Passo 5

Vamos expressar o divergente em coordenadas cilíndricas:
nabla cdot F = 3x^2 + 3y^2 + 2z = 3(r cos theta)^2 + 3(r sin theta)^2 + 2z = 3r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) + 2z = 3r^2 + 2z
Agora, a integral tripla fica:
integral triplaV (3r^2 + 2z) , r , dr , dtheta , dz
Simplificando:
integral0^2pi integral0^3 integral0^2 (3r^3 + 2zr) , dz , dr , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a z :
integral0^2 (3r^3 + 2zr) , dz = 3r^3z + zr^2 g|0^2 = 3r^3(2) + r^2(2^2) - 0 = 6r^3 + 4r^2
Agora, integramos em relação a r :
integral0^3 (6r^3 + 4r^2) , dr = 64r^4 + 43r^3 g|0^3 = 32r^4 + 43r^3 g|0^3
Calculando para r = 3 :
32(3)^4 + 43(3)^3 = 32(81) + 43(27) = 2432 + 36 = 121.5 + 36 = 157.5
Por fim, integramos em relação a theta :
integral0^2pi 157.5 , dtheta = 157.5 times 2pi = 315pi

Resposta

O fluxo de F através de S é 315pi .

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