Verifique se as séries a seguir converge ou diverge. Usando teste da integral.
sumn=1^infty sin (n)n^2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente verificar se a série sumn=1^infty sin(n)n^2 converge ou diverge, usando o teste da integral. Vamos precisar entender como funciona esse teste e analisar os termos da série.

Passo 2

Primeiro, o teste da integral é uma ferramenta que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não. Ele funciona bem quando os termos da série são positivos e decrescentes. Olhando para a nossa série, temos sin(n)n^2. O problema é que sin(n) oscila entre -1 e 1, então os termos da série não são sempre positivos.

Passo 3

Como os termos sin(n)n^2 não são todos positivos, não dá para aplicar o teste da integral diretamente nessa forma. Mas a gente pode contornar isso trabalhando com os valores absolutos dos termos. Ou seja, vamos considerar a série sumn=1^infty |sin(n)|n^2.

Passo 4

Sabemos que |sin(n)| <= 1 para qualquer valor de n. Então, |sin(n)|n^2 <= 1n^2. Agora, a gente olha para a série sumn=1^infty 1n^2, que é uma série p com p = 2. Sabemos que essa série converge, já que p > 1.

Passo 5

Como |sin(n)|n^2 <= 1n^2 e a série sumn=1^infty 1n^2 converge, podemos usar o teste de comparação para concluir que a série sumn=1^infty |sin(n)|n^2 também converge.

Passo 6

Se a série dos valores absolutos sumn=1^infty |sin(n)|n^2 converge, isso significa que a série original sumn=1^infty sin(n)n^2 converge absolutamente. E quando uma série converge absolutamente, ela também simplesmente converge.

Resposta

A série sumn=1^infty sin(n)n^2 converge.

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