Verifique se as séries a seguir converge ou diverge. Usando teste da integral.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge, usando o teste da integral. Vamos precisar entender como funciona esse teste e analisar os termos da série.
Passo 2
Primeiro, o teste da integral é uma ferramenta que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não. Ele funciona bem quando os termos da série são positivos e decrescentes. Olhando para a nossa série, temos
. O problema é que
oscila entre
e
, então os termos da série não são sempre positivos.
Passo 3
Como os termos
não são todos positivos, não dá para aplicar o teste da integral diretamente nessa forma. Mas a gente pode contornar isso trabalhando com os valores absolutos dos termos. Ou seja, vamos considerar a série
.
Passo 4
Sabemos que
para qualquer valor de
. Então,
. Agora, a gente olha para a série
, que é uma série p com
. Sabemos que essa série converge, já que
.
Passo 5
Como
e a série
converge, podemos usar o teste de comparação para concluir que a série
também converge.
Passo 6
Se a série dos valores absolutos
converge, isso significa que a série original
converge absolutamente. E quando uma série converge absolutamente, ela também simplesmente converge.
Resposta
A série
converge.