Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
F(x, y, z)=(e^x y z, e^x z+2 y z, e^x y+y^2+1);

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se o campo
F(x,y,z)=l(e^xyz,;e^xz+2yz,;e^xy+y^2+1r)
é conservativo e, em caso afirmativo, determinar uma função potencial. O conteúdo envolve cálculo vetorial em R^3: vamos usar o critério de que, em um domínio simplesmente conexo como R^3, F é conservativo se e somente se nablatimesF=0. Se for conservativo, encontraremos f tal que nabla f=F.

Passo 2

Aplicamos o teste do rotor em R^3. Escrevendo
F=(P,Q,R) com
P=e^x y z, Q=e^x z+2yz, R=e^x y+y^2+1,
calculamos nablatimesF.

Passo 3

Computando cada componente de nablatimesF:
(nablatimesF)1 =partial Rpartial y-partial Qpartial z =(e^x+2y)-(e^x+2y)=0,
(nablatimesF)2 =partial Ppartial z-partial Rpartial x =(e^x y)-(e^x y)=0,
(nablatimesF)3 =partial Qpartial x-partial Ppartial y =(e^x z)-(e^x z)=0

Passo 4

Como todas as componentes do rotor são nulas, nablatimesF=0 em R^3. Logo, F é um campo conservativo.

Passo 5

Para achar f(x,y,z) com nabla f=F, começamos integrando P em relação a x:
f(x,y,z)=integral e^x y z,dx = e^x y z + g(y,z),
onde g depende só de y e z.

Passo 6

Derivando f em relação a y e igualando a Q:
partial fpartial y =e^x z + partial gpartial y stackrel!= e^x z + 2yz ;Longrightarrow; partial gpartial y=2yz
Integrando em y:
g(y,z)=integral 2yz,dy = y^2 z + h(z),
com h função de z só.

Passo 7

Derivando f em relação a z e igualando a R:
partial fpartial z =e^x y + y^2 + h'(z) stackrel!= e^x y + y^2 +1 ;Longrightarrow; h'(z)=1 ;Longrightarrow; h(z)=z + C

Passo 8

Assim, uma função potencial é
f(x,y,z)=e^x y z + y^2 z + z + C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

O campo F é conservativo e uma função potencial é
f(x,y,z)=e^x y z + y^2 z + z + C

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