Verifique se os campos são ou não conservaticos, em caso afirmativo determine uma função potencial
;
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos se o campo
é conservativo e, em caso afirmativo, determinar uma função potencial. O conteúdo envolve cálculo vetorial em : vamos usar o critério de que, em um domínio simplesmente conexo como
,
é conservativo se e somente se
. Se for conservativo, encontraremos
tal que
.
é conservativo e, em caso afirmativo, determinar uma função potencial. O conteúdo envolve cálculo vetorial em
Passo 2
Aplicamos o teste do rotor em
. Escrevendo
com
calculamos
.
Passo 3
Computando cada componente de
:
Passo 4
Como todas as componentes do rotor são nulas,
em
. Logo,
é um campo conservativo.
Passo 5
Para achar
com
, começamos integrando
em relação a
:
onde
depende só de
e
.
Passo 6
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Integrando em
:
com
função de
só.
Passo 7
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Passo 8
Assim, uma função potencial é
onde
é constante arbitrária.
Resposta
O campo
é conservativo e uma função potencial é