Considere o campo vetorial
Verifique que
é campo vetorial conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para verificar se o campo vetorial $ F(x, y) = (6x + 5y, 5x + 4y) $ é conservativo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e condições para identificá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Em termos mais práticos, isso significa que podemos encontrar uma função $ f(x, y) $ tal que:
Passo 3
Outra maneira de verificar se um campo vetorial é conservativo, especialmente em duas dimensões, é verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, se:
Onde $ F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) $.
Passo 4
Vamos identificar $ P(x, y) $ e $ Q(x, y) $ do nosso campo vetorial:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 6
Comparando as duas derivadas:
Como ambas são iguais, atendemos à condição necessária para o campo ser conservativo.
Resposta
Portanto, o campo vetorial $ F(x, y) = (6x + 5y, 5x + 4y) $ é conservativo.