Considere o campo vetorial
F(x, y)=(6 x+5 y, 5 x+4 y)
Verifique que F é campo vetorial conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para verificar se o campo vetorial $ F(x, y) = (6x + 5y, 5x + 4y) $ é conservativo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e condições para identificá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Em termos mais práticos, isso significa que podemos encontrar uma função $ f(x, y) $ tal que:
f(x, y)

Passo 3

Outra maneira de verificar se um campo vetorial é conservativo, especialmente em duas dimensões, é verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, se:
partial Qpartial x = partial Ppartial y
Onde $ F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) $.

Passo 4

Vamos identificar $ P(x, y) $ e $ Q(x, y) $ do nosso campo vetorial:
P(x, y)

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(5x + 4y) = 5 partial Ppartial y = partialpartial y(6x + 5y) = 5

Passo 6

Comparando as duas derivadas:
partial Qpartial x = 5 partial Ppartial y = 5
Como ambas são iguais, atendemos à condição necessária para o campo ser conservativo.

Resposta

Portanto, o campo vetorial $ F(x, y) = (6x + 5y, 5x + 4y) $ é conservativo.

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