Considere o campo vetorial em
b) Calcule a mesma integral de caminho acima usando o teorema de Green.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para calcular a integral de linha fechada
usando o Teorema de Green. O conteúdo aqui é aplicar Green para transformar a integral de contorno numa integral dupla de , lembrando que
e
, e lidar com a singularidade em
.
usando o Teorema de Green. O conteúdo aqui é aplicar Green para transformar a integral de contorno numa integral dupla de
Passo 2
Calculemos o “rotacional” de
(ou seja,
) em
.
Somando,
Passo 3
Como
não é definida em
, não aplicamos Green diretamente em toda a região interna a
. Introduzimos um círculo pequeno
de raio
centrado em
, de modo que a região entre
e
seja livre de singularidades. Aplicando Green nessa região anelar, temos
Passo 4
Parametrizamos
no sentido horário (orientação negativa do anel) por
Em
temos
,
logo
logo
Como
vai de
a
,
Então
se for percorrido no mesmo sentido de
. Mas, como o sentido horário do interior é negativo, obtemos
se