Considere o campo vetorial em R^2
F(x, y)=-y i+x jx^2+y^2
b) Calcule a mesma integral de caminho acima usando o teorema de Green.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=-y,i+x,jx^2+y^2
e pede para calcular a integral de linha fechada
ointCFcdot dr
usando o Teorema de Green. O conteúdo aqui é aplicar Green para transformar a integral de contorno numa integral dupla de partial Qpartial x-partial Ppartial y, lembrando que P=-yx^2+y^2 e Q=xx^2+y^2, e lidar com a singularidade em (0,0).

Passo 2

Calculemos o “rotacional” de F (ou seja, partial Q/partial x-partial P/partial y) em R^2setminus(0,0).
partial Qpartial x =partialpartial xl(xx^2+y^2r) =(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
partial Ppartial y =partialpartial yl(-yx^2+y^2r) =-(x^2+y^2)-2y^2(x^2+y^2)^2 =-x^2-y^2(x^2+y^2)^2
Somando,
partial Qpartial x-partial Ppartial y =y^2-x^2(x^2+y^2)^2 -l(-x^2-y^2(x^2+y^2)^2r) =0

Passo 3

Como F não é definida em (0,0), não aplicamos Green diretamente em toda a região interna a C. Introduzimos um círculo pequeno Cvarepsilon de raio varepsilon centrado em (0,0), de modo que a região entre C e Cvarepsilon seja livre de singularidades. Aplicando Green nessa região anelar, temos
ointCFcdot dr +ointCvarepsilonFcdot dr =integral duplaanel0,dA=0 Longrightarrow ointCFcdot dr =-ointCvarepsilonFcdot dr

Passo 4

Parametrizamos Cvarepsilon no sentido horário (orientação negativa do anel) por
r(phi)=(varepsiloncosphi,varepsilonsinphi), dr=(-varepsilonsinphi,varepsiloncosphi),dphi, phiin[0,2pi]
Em r(phi) temos
F(r(phi))=l(-sinphi/varepsilon,cosphi/varepsilonr),
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Fcdot dr =-sinphivarepsilon(-varepsilonsinphi) +cosphivarepsilon(varepsiloncosphi) =(sin^2phi+cos^2phi),dphi =dphi
Como phi vai de 0 a 2pi,
ointCvarepsilonFcdot dr =integral0^2pidphi =2pi
Então
ointCFcdot dr=-2pi
se Cvarepsilon for percorrido no mesmo sentido de phi. Mas, como o sentido horário do interior é negativo, obtemos
ointCFcdot dr=2pi

Resposta

2pi.

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