Exercício 3

Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
f(x, y)=e^x-y-y^2 cos (x^2).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^x-y-y^2cosl(x^2r)
e pede as derivadas parciais de primeira ordem dfracpartial fpartial x e dfracpartial fpartial y. Vamos usar a regra da cadeia e, no segundo termo, a regra do produto (embora aí seja só um monômio em y vezes uma função de x).

Passo 2

Para calcular dfracpartial fpartial x tratamos y como constante.
  1. Derivada de e^x-y em relação a x é
partialpartial xe^x-y=e^x-ycdotddx(x-y)=e^x-y
  1. Derivada de -y^2cos(x^2) em relação a x: como y^2 é constante,
partialpartial xl[-y^2cos(x^2)r] =-y^2,ddxcos(x^2) =-y^2l[-sin(x^2)cdot2xr] =2x,y^2sin(x^2)
Somando os dois resultados,
fx(x,y)=e^x-y+2x,y^2sinl(x^2r)

Passo 3

Para calcular dfracpartial fpartial y tratamos x como constante.
  1. Derivada de e^x-y em relação a y é
partialpartial ye^x-y =e^x-ycdotddy(x-y) =-e^x-y
  1. Derivada de -y^2cos(x^2) em relação a y: aqui cos(x^2) é constante,
partialpartial yl[-y^2cos(x^2)r] =-2ycosl(x^2r)
Somando,
fy(x,y)=-e^x-y-2ycosl(x^2r)

Resposta

fx(x,y)=e^x-y+2x,y^2sinl(x^2r), fy(x,y)=-e^x-y-2ycosl(x^2r)

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