Considere o campo vetorial
F(x, y)=(y^21+x^2, 2 y arctan (x)+1)
(b) Determine uma função f tal que F=nabla f.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função f(x,y) cuja gradiente seja
nabla f(x,y)=vec F(x,y)=l(y^21+x^2,,2yarctan(x)+1r)
Estamos em um contexto de campos vetoriais conservativos e funções potencial; para resolver, vamos integrar a componente x e depois ajustar com uma função de y.

Passo 2

Integramos a primeira componente em relação a x, tratando y como constante:
partial fpartial x=y^21+x^2 Longrightarrow f(x,y)=integral y^21+x^2,dx =y^2arctan(x)+h(y),
onde h(y) é uma função que depende só de y.

Passo 3

Calculamos agora a derivada parcial de f em relação a y e igualamos à segunda componente de vec F:
partial fpartial y =partialpartial yl(y^2arctan(x)+h(y)r) =2yarctan(x)+h'(y)
Deve valer
2yarctan(x)+h'(y)=2yarctan(x)+1 Longrightarrow h'(y)=1,
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h(y)=y + C,
com C constante arbitrária.

Resposta

f(x,y)=y^2arctan(x)+y + C,
onde C é constante.

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