Seja C a curva dada pela interseção do cilindro x^2+y^2=1 com a superfície z=e^x y, na região do espaço onde x >= 0 e y >= 0. Considere o campo de força
F(x, y, z)=(y z^2, x z^2+1,2 x y z)
(a) Encontre uma parametrização r(t) de C, um vetor tangente a C no ponto r(t) e os extremos de C.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva C de interseção do cilindro x^2+y^2=1 com a superfície z=e^x y, restrita ao primeiro quadrante ( x>=0, y>=0). Pede-se (a) uma parametrização vec r(t) de C, (b) o vetor tangente vec r,'(t) e (c) os extremos de C (os valores de t que dão seus pontos iniciais e finais).

Passo 2

Para parametrizar o cilindro no primeiro quadrante usamos coordenadas polares com ângulo tin[0,tfracpi2]:
x=cos t, y=sin t
Como sobre C vale z=e^xy, obtemos
vec r(t)=l(cos t,;sin t,;e^cos tsin tr), 0<= t<= tfracpi2

Passo 3

O vetor tangente é a derivada de vec r(t) em relação a t. Calculamos cada componente:
ddt(cos t)=-sin t, ddt(sin t)=cos t,
ddtl(e^cos tsin tr) =e^cos tsin t,ddt(cos tsin t) =e^cos tsin t(cos^2t-sin^2t)
Logo,
vec r,'(t) =l(-sin t,;cos t,;e^cos tsin t(cos^2t-sin^2t)r)

Passo 4

Os extremos de C correspondem a t=0 e t=tfracpi2:
vec r(0)=l(cos0,sin0,e^0r)=(1,0,1), vec rl(tfracpi2r)=l(costfracpi2,sintfracpi2,e^0r)=(0,1,1)

Resposta

Parametrização:
vec r(t)=l(cos t,;sin t,;e^cos tsin tr), tin[0,tfracpi2]
Vetor tangente:
vec r,'(t)=l(-sin t,;cos t,;e^cos tsin t(cos^2t-sin^2t)r)
Extremos:
vec r(0)=(1,0,1) e vec r(tfracpi2)=(0,1,1).

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