Derive as funções
y=1-sec (x)tg(x);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função . O conteúdo envolvido é derivação de quociente e derivadas das funções trigonométricas y=1-sec(x)tg(x) e sec(x). Vamos usar a regra do quociente.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares: u(x)=1-sec(x) e v(x)=tan(x). Em seguida, calculamos as derivadas: u'(x)=-sec(x)tan(x), v'(x)=sec^2(x)

Passo 3

Pela regra do quociente, a derivada de y=uv é y'=u',v - u,v'v^2 Substituindo u,u',v,v' obtemos:
Calculamos o numerador:
u'v - uv'=(-sec(x)tan(x))cdottan(x) - (1-sec(x))cdotsec^2(x) = -sec(x)tan^2(x) - (sec^2(x)-sec^3(x))

Passo 4

Agora usamos a identidade trigonométrica tan^2(x)=sec^2(x)-1 para simplificar o termo -sec(x)tan^2(x):
-sec(x)(sec^2(x)-1) - sec^2(x) + sec^3(x) = -sec^3(x) + sec(x) - sec^2(x) + sec^3(x) = sec(x) - sec^2(x)

Passo 5

Fatorando sec(x) no numerador, temos sec(x)(1-sec(x)) Assim, substituindo no quociente e lembrando que v^2=tan^2(x), chegamos a:
y'=sec(x)(1-sec(x))tan^2(x)

Resposta

dydx=sec(x)l(1-sec(x)r)tan^2(x)

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