Considere o campo vetorial
F(x, y)=(y^21+x^2, 2 y arctan (x)+1)
(c) Calcule
integralC F cdot d r
onde C é dada por r(t)=(t^2, 2 t), 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dvec r
onde
F(x,y)=l(y^21+x^2,,2yarctan(x)+1r)
e C é o traçado paramétrico
vec r(t)=(t^2,2t), 0<= t<=1
O conteúdo principal é integral de linha de campo vetorial e uso do Teorema Fundamental das Integrais de Linha (campo conservativo).

Passo 2

Verificamos se vec F é conservativo, checando se
partialpartial yl(y^21+x^2r) ;=; partialpartial xl(2yarctan(x)+1r)
Calculando,
partial Mpartial y =2y1+x^2, partial Npartial x =2ycdot11+x^2 =2y1+x^2,
logo são iguais e vec F é conservativo num domínio simplesmente conexo.

Passo 3

Como vec F=nabla f, buscamos f(x,y) tal que
partial fpartial x=M e partial fpartial y=N.
Integramos M em x:
f(x,y)=integral y^21+x^2,dx =y^2arctan(x)+g(y)
Agora diferenciamos em y e igualamos a N:
partial fpartial y =2yarctan(x)+g'(y) stackrel!=2yarctan(x)+1 ;Longrightarrow; g'(y)=1 ;Longrightarrow; g(y)=y+C
Podemos tomar C=0. Assim
f(x,y)=y^2arctan(x)+y

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
integralCvec Fcdot dvec r =fl(vec r(1)r)-fl(vec r(0)r)
Como vec r(1)=(1,2) e vec r(0)=(0,0), temos
f(1,2)=2^2arctan(1)+2 =4cdotpi4+2 =pi+2, f(0,0)=0

Resposta

pi+2

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