Considere o campo vetorial F(x, y)=(x-y) i+x y j.
Mostre que o campo F não é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial F(x, y) = (x - y) i + xy j e precisa mostrar que ele não é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de campos vetoriais, principalmente sobre campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial. Isso significa que existe uma função phi(x, y) tal que F = nabla phi. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que a circulação ao longo de qualquer caminho fechado no campo é zero.

Passo 3

Uma forma prática de verificar se um campo é conservativo é usar a condição de igualdade das derivadas parciais cruzadas. Mais especificamente, para um campo F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j ser conservativo, precisa valer:
partial Ppartial y = partial Qpartial x

Passo 4

Vamos identificar P(x, y) e Q(x, y) no nosso campo:
P(x, y) = x - y Q(x, y) = xy
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 5

Calculando partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y (x - y) = -1
Calculando partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x (xy) = y

Passo 6

Agora, comparamos as duas derivadas:
partial Ppartial y = -1 partial Qpartial x = y
A condição para o campo ser conservativo é que essas derivadas sejam iguais para todo (x, y).

Passo 7

Observamos que -1 nunca é igual a y para todo y. Só seria igual quando y = -1, mas isso não acontece para todos os pontos do campo.

Passo 8

Como partial Ppartial y neq partial Qpartial x de forma geral, concluímos que o campo F não é conservativo.

Resposta

O campo F não é conservativo.

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