Considere o campo vetorial
.
Mostre que o campo
não é conservativo.
Mostre que o campo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e precisa mostrar que ele não é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de campos vetoriais, principalmente sobre campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial. Isso significa que existe uma função
tal que
. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que a circulação ao longo de qualquer caminho fechado no campo é zero.
Passo 3
Uma forma prática de verificar se um campo é conservativo é usar a condição de igualdade das derivadas parciais cruzadas. Mais especificamente, para um campo
ser conservativo, precisa valer:
Passo 4
Vamos identificar
e
no nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Passo 6
Agora, comparamos as duas derivadas:
A condição para o campo ser conservativo é que essas derivadas sejam iguais para todo
.
Passo 7
Observamos que
nunca é igual a
para todo
. Só seria igual quando
, mas isso não acontece para todos os pontos do campo.
Passo 8
Como
de forma geral, concluímos que o campo
não é conservativo.
Resposta
O campo
não é conservativo.