Considere o campo vetorial em R^2
F(x, y)=-y i+x jx^2+y^2
Calcule a mesma integral de caminho integralC F cdot d r, onde C é um círculo de centro na origem raio a>0 usando o teorema de Green.

Passo 1

O enunciado pede a circulação
integralCFcdot dr
onde
F(x,y)=-y,i+x,jx^2+y^2
e C é o círculo de centro na origem e raio a>0. O conteúdo usado será integral de linha de campos vetoriais e o Teorema de Green em regiões com buraco, devido à singularidade em (0,0).

Passo 2

Como F não está definida em (0,0), não podemos aplicar Green diretamente no disco interior a C. Então consideramos a região anelar
D=(x,y)mid varepsilon<= raizx^2+y^2<= a,
com contorno formado por C (raio a, orientado positivamente, isto é, no sentido anti-horário) e pelo círculo interno Cvarepsilon (raio varepsilon, orientado no sentido horário para manter D positivamente orientada).

Passo 3

Calculamos o rotacional de F. Escrevendo
M(x,y)=-yx^2+y^2, N(x,y)=xx^2+y^2,
temos
partial Npartial x =(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
partial Mpartial y =-,(x^2+y^2)+2y^2(x^2+y^2)^2 =-x^2+y^2(x^2+y^2)^2
Logo o rotacional é
partial Npartial x-partial Mpartial y =y^2-x^2(x^2+y^2)^2 --x^2+y^2(x^2+y^2)^2 =0
em toda a região D.

Passo 4

Pelo Teorema de Green em D, como nablatimesF=0, vale
integralCFcdot dr +integralCvarepsilonFcdot dr =integral duplaD0,dA =0
Mas Cvarepsilon está orientado no sentido horário; trocando para o sentido anti-horário invertemos o sinal. Assim
integralCFcdot dr =integralCvarepsilonFcdot dr
onde agora Cvarepsilon é percorrido no sentido anti-horário.

Passo 5

Parametrizamos Cvarepsilon por
r(theta) =l(varepsiloncostheta,;varepsilonsinthetar), 0<=theta<=2pi,
logo
dr =(-varepsilonsintheta,;varepsiloncostheta),dtheta,
e em cada ponto
F =-varepsilonsintheta,i+varepsiloncostheta,j varepsilon^2 =l(-tfracsinthetavarepsilon,;tfraccosthetavarepsilonr)
O produto escalar é
Fcdot dr =-sinthetavarepsilon,(-varepsilonsintheta) +costhetavarepsilon,(varepsiloncostheta) =sin^2theta+cos^2theta =1,
e então
integralCvarepsilonFcdot dr =integral0^2pi1,dtheta =2pi

Resposta

integralCFcdot dr =2pi

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