Considere o campo vetorial em
Calcule a mesma integral de caminho
, onde
é um círculo de centro na origem raio
usando o teorema de Green.
Passo 1
O enunciado pede a circulação
onde
e
é o círculo de centro na origem e raio
. O conteúdo usado será integral de linha de campos vetoriais e o Teorema de Green em regiões com buraco, devido à singularidade em
.
Passo 2
Como
não está definida em
, não podemos aplicar Green diretamente no disco interior a
. Então consideramos a região anelar
com contorno formado por
(raio
, orientado positivamente, isto é, no sentido anti-horário) e pelo círculo interno
(raio
, orientado no sentido horário para manter
positivamente orientada).
Passo 3
Calculamos o rotacional de
. Escrevendo
temos
Logo o rotacional é
em toda a região
.
Passo 4
Pelo Teorema de Green em
, como
, vale
Mas
está orientado no sentido horário; trocando para o sentido anti-horário invertemos o sinal. Assim
onde agora
é percorrido no sentido anti-horário.
Passo 5
Parametrizamos
por
logo
e em cada ponto
O produto escalar é
e então