Considere o campo vetorial em R^2
F(x, y)=-y i+x jx^2+y^2
a) Calcule, usando a definição, a integral de caminho integralC F cdot d r, onde C é um círculo de centro na origem raio a>0.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em R^2
F(x,y)=-y,i+x,jx^2+y^2
e pede o valor de
integralCFcdot dr
onde C é o círculo de centro na origem e raio a>0.
Para resolver, vamos usar a definição de integral de linha: parametrizamos C, calculamos F(r(t)), dr/dt e então integral Fl(r(t)r)cdot r'(t),dt.

Passo 2

Parametrizamos o círculo de raio a com orientação anti-horária por
r(t) = l(acos t,;asin tr), 0<= t<=2pi
Logo,
r'(t) = l(-asin t,;acos tr)

Passo 3

Substituímos na fórmula de F:
Fl(r(t)r) =l(-asin t,;acos tr)a^2 =l(-tfracsin ta,;tfraccos tar)

Passo 4

Calculamos o produto escalar e integramos:
F(r(t))cdot r'(t) =l(-tfracsin tar)l(-asin tr) +l(tfraccos tar)l(acos tr) =sin^2t+cos^2t=1
Logo,
integralCFcdot dr =integral0^2pi1,dt =2pi

Resposta

2pi

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