Deseja-se fabricar uma caixa (com tampa) de base quadrada, de lado x cm, e altura y cm , cujo valor do volume deve ser igual a 2250 cm^3. O custo do material da base e da tampa é de 2 reais por cm^2, e o custo das laterais é de 3 reais por cm^2.
Determine C^prime(x) e os pontos críticos de C(x).

Passo 1

O enunciado pede para construir uma caixa com base quadrada de lado e altura , sujeita ao volume fixo de , . O custo da base e da tampa é de R$por e o das quatro laterais é de R$ por . Vamos eliminar usando a restrição de volume e escrever o custo em função de , depois achar e seus pontos críticos.

Passo 2

Da condição de volume,
x^2,y = 2250
segue
y = 2250x^2

Passo 3

A área da base mais a tampa é e custa R$ por , logo esse trecho custa
A área lateral total é e custa R$ por , logo
Assim

Passo 4

Derivando em relação a x,
C'(x) = ddxl(4,x^2r) + ddxl(27000,x^-1r) = 8,x - 27000,x^-2

Passo 5

Para achar os pontos críticos, igualamos C'(x)=0:
8,x - 27000x^2 = 0 Longrightarrow 8,x^3 = 27000 Longrightarrow x^3 = 3375 Longrightarrow x = 15(cm),
único ponto crítico no domínio x>0.

Resposta

C'(x)=8,x - dfrac27000x^2.
O ponto crítico é x=15,cm.

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