Considere
o campo vetorial cuja função potencial é
. Encontre a integral
, onde
o segmento de reta ligando
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. A gente tem um campo vetorial
que tem uma função potencial
. A tarefa é encontrar a integral de linha
, onde
é o segmento de reta que liga o ponto
ao ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é campo conservativo e como usar a função potencial para calcular integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é chamado de conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial
, ou seja,
. Isso é importante porque, para campos conservativos, a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos valores da função potencial nesses pontos, e não do caminho seguido.
Passo 3
Dado que a função potencial
está fornecida, sabemos que
é conservativo. Assim, a integral de linha
pode ser calculada simplesmente subtraindo o valor da função potencial no ponto inicial do valor no ponto final:
Passo 4
Vamos calcular
e
.
- Para o ponto
:
- Para o ponto
:
Passo 5
Agora, subtraímos os valores calculados:
Resposta
A integral
vale 1.