Considere F(x, y, z)=y z imath+(x z+2 y) jmath+(x y+1) k o campo vetorial cuja função potencial é Phi(x, y, z)=x y z+y^2+z. Encontre a integral integralC F cdot d r, onde C o segmento de reta ligando P=(0,0,0) a Q=(1,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. A gente tem um campo vetorial que tem uma função potencial . A tarefa é encontrar a integral de linha , onde é o segmento de reta que liga o ponto ao ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é campo conservativo e como usar a função potencial para calcular integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial F é chamado de conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial Phi, ou seja, F = nabla Phi. Isso é importante porque, para campos conservativos, a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos valores da função potencial nesses pontos, e não do caminho seguido.

Passo 3

Dado que a função potencial Phi(x, y, z) = x y z + y^2 + z está fornecida, sabemos que F é conservativo. Assim, a integral de linha integralC F cdot d r pode ser calculada simplesmente subtraindo o valor da função potencial no ponto inicial do valor no ponto final:
integralC F cdot d r = Phi(Q) - Phi(P)

Passo 4

Vamos calcular Phi(Q) e Phi(P).
  • Para o ponto Q = (1, 0, 1):
Phi(1, 0, 1) = (1)(0)(1) + (0)^2 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
  • Para o ponto P = (0, 0, 0):
Phi(0, 0, 0) = (0)(0)(0) + (0)^2 + 0 = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 5

Agora, subtraímos os valores calculados:
integralC F cdot d r = Phi(Q) - Phi(P) = 1 - 0 = 1

Resposta

A integral integralC F cdot d r vale 1.

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