Considere
, encontre:
(a) O campo gradiente
;
(b) A divergência de
;
(c) O rotacional de
(a) O campo gradiente
(b) A divergência de
(c) O rotacional de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve cálculo vetorial. A gente vai trabalhar com gradiente, divergência e rotacional, que são ferramentas importantes para analisar campos vetoriais. A função que temos é
. Para resolver os itens (a), (b) e (c), vamos precisar calcular o gradiente de
, a divergência desse gradiente e o rotacional dele.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo gradiente
. O gradiente de uma função escalar
dá um campo vetorial cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais, podemos escrever o campo gradiente
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Vamos calcular cada termo:
- Derivada de
em relação a :
(porque
não depende de
)
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
(porque
não depende de
)
Passo 5
Somando as derivadas parciais, a divergência de
é:
Passo 6
Por fim, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
Então:
- Segunda componente:
Então:
- Terceira componente:
Então:
Resposta
(a) O campo gradiente é
;
(b) A divergência de
é
;
(c) O rotacional de
é
.