Considere phi(x, y, z)=x y z+y^2+z, encontre:
(a) O campo gradiente F=nabla phi;
(b) A divergência de F;
(c) O rotacional de F

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve cálculo vetorial. A gente vai trabalhar com gradiente, divergência e rotacional, que são ferramentas importantes para analisar campos vetoriais. A função que temos é phi(x, y, z) = x y z + y^2 + z. Para resolver os itens (a), (b) e (c), vamos precisar calcular o gradiente de phi, a divergência desse gradiente e o rotacional dele.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo gradiente F = nabla phi. O gradiente de uma função escalar phi dá um campo vetorial cujas componentes são as derivadas parciais de phi em relação a cada variável. Ou seja:
nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y, partial phipartial z )
Vamos calcular cada derivada:
  • Derivada parcial de phi em relação a x:
partial phipartial x = y z
  • Derivada parcial de phi em relação a y:
partial phipartial y = x z + 2 y
  • Derivada parcial de phi em relação a z:
partial phipartial z = x y + 1

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais, podemos escrever o campo gradiente F:
F = nabla phi = ( y z, x z + 2 y, x y + 1 )

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular cada termo:
  • Derivada de Fx = y z em relação a x:
partial Fxpartial x = 0
(porque y z não depende de x)
  • Derivada de Fy = x z + 2 y em relação a y:
partial Fypartial y = 0 + 2 = 2
  • Derivada de Fz = x y + 1 em relação a z:
partial Fzpartial z = 0
(porque x y + 1 não depende de z)

Passo 5

Somando as derivadas parciais, a divergência de F é:
nabla cdot F = 0 + 2 + 0 = 2

Passo 6

Por fim, vamos calcular o rotacional de F. O rotacional de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Vamos calcular cada componente:
  • Primeira componente:
partial Fzpartial y = x, partial Fypartial z = x
Então:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = x - x = 0
  • Segunda componente:
partial Fxpartial z = y, partial Fzpartial x = y
Então:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = y - y = 0
  • Terceira componente:
partial Fypartial x = z, partial Fxpartial y = z
Então:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = z - z = 0

Resposta

(a) O campo gradiente é F = nabla phi = ( y z, x z + 2 y, x y + 1 );
(b) A divergência de F é 2;
(c) O rotacional de F é nabla times F = (0, 0, 0).

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