Encontre a integral
, onde
é a curva parametrizada por
com
.
Passo 1
Beleza! O exercício quer a gente calcular a integral de linha
, onde a curva
é dada pela parametrização
com
indo de
a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva
. A função vetorial é
, o que nos dá as componentes:
Isso significa que, à medida que
varia de
a
,
vai de
a
e
permanece sempre
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o diferencial de arco
. Para isso, vamos derivar
em relação a
:
O módulo dessa derivada é:
Então,
.
Passo 4
Agora vamos substituir
,
e
na integral original:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a integral:
Resposta
A integral vale
.