Encontre a integral integralC x^2 y d s, onde C é a curva parametrizada por r(t)=t imath+3 jmath com t in[0,1].

Passo 1

Beleza! O exercício quer a gente calcular a integral de linha integralC x^2 y , d s, onde a curva C é dada pela parametrização r(t) = t imath + 3 jmath com t indo de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva C. A função vetorial é r(t) = t imath + 3 jmath, o que nos dá as componentes:
x(t) = t
y(t) = 3
Isso significa que, à medida que t varia de 0 a 1, x vai de 0 a 1 e y permanece sempre 3.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial de arco d s. Para isso, vamos derivar r(t) em relação a t:
r'(t) = ddt [t imath + 3 jmath] = imath + 0 jmath = imath
O módulo dessa derivada é:
|r'(t)| = raiz1^2 + 0^2 = 1
Então, d s = |r'(t)| dt = 1 cdot dt = dt.

Passo 4

Agora vamos substituir x(t), y(t) e d s na integral original:
integralC x^2 y , d s = integral0^1 (t^2)(3) (1) , dt = 3 integral0^1 t^2 , dt

Passo 5

Por fim, vamos calcular a integral:
3 integral0^1 t^2 , dt = 3 [ t^33 ]0^1 = [t^3]0^1 = 1^3 - 0^3 = 1

Resposta

A integral vale 1.

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