Seja F(x, y) o campo cuja função potencial é dada por phi(x, y)=x cos (y^2)+e^x y-1, encontre o trabalho realizado por F para mover uma partícula ao longo de toda uma circunferência de raio 2 centrada na origem e orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Ok, vamos entender o que está pegando aqui. A gente tem um campo vetorial F(x, y) que tem uma função potencial dada por phi(x, y) = x cos(y^2) + e^x y -1 . O exercício quer saber qual é o trabalho realizado por esse campo para mover uma partícula ao longo de uma circunferência de raio 2, centrada na origem, e percorrida no sentido anti-horário.
Aqui, vamos precisar saber sobre campos conservativos e funções potenciais. Um campo é conservativo se existe uma função potencial phi tal que F = nabla phi . Uma propriedade importante de campos conservativos é que o trabalho realizado ao longo de qualquer caminho fechado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que F é um campo conservativo. Sabemos que se phi é uma função potencial para F , então F é conservativo. Como phi(x, y) = x cos(y^2) + e^x y -1 é dada, podemos afirmar que F é conservativo.

Passo 3

Agora, considerando que estamos movendo a partícula ao longo de uma circunferência fechada (ou seja, um caminho fechado) de raio 2, centrada na origem, e que F é conservativo, podemos usar a propriedade que o trabalho realizado por um campo conservativo em um caminho fechado é sempre zero.

Passo 4

Portanto, sem precisar calcular integralmente o trabalho, sabemos que o trabalho realizado por F ao mover a partícula ao longo dessa circunferência fechada será zero.

Resposta

O trabalho realizado por F ao mover a partícula ao longo da circunferência de raio 2 é zero.

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