Seja
o campo cuja função potencial é dada por
, encontre o trabalho realizado por
para mover uma partícula ao longo de toda uma circunferência de raio 2 centrada na origem e orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Ok, vamos entender o que está pegando aqui. A gente tem um campo vetorial
que tem uma função potencial dada por
. O exercício quer saber qual é o trabalho realizado por esse campo para mover uma partícula ao longo de uma circunferência de raio 2, centrada na origem, e percorrida no sentido anti-horário.
Aqui, vamos precisar saber sobre campos conservativos e funções potenciais. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Uma propriedade importante de campos conservativos é que o trabalho realizado ao longo de qualquer caminho fechado é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que
é um campo conservativo. Sabemos que se
é uma função potencial para
, então
é conservativo. Como
é dada, podemos afirmar que
é conservativo.
Passo 3
Agora, considerando que estamos movendo a partícula ao longo de uma circunferência fechada (ou seja, um caminho fechado) de raio 2, centrada na origem, e que
é conservativo, podemos usar a propriedade que o trabalho realizado por um campo conservativo em um caminho fechado é sempre zero.
Passo 4
Portanto, sem precisar calcular integralmente o trabalho, sabemos que o trabalho realizado por
ao mover a partícula ao longo dessa circunferência fechada será zero.
Resposta
O trabalho realizado por
ao mover a partícula ao longo da circunferência de raio 2 é zero.