Considere o campo vetorial
dado por:
a) Determine se
é um campo conservativo, em caso afirmativo encontre todas as funçōes potenciais associadas a
b) O campo vetorial
é irrotacional? (Justifique!)
b) O campo vetorial
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
com
e
.
Precisamos verificar se é conservativo (existe função potencial) e depois se é irrotacional.
Precisamos verificar se é conservativo (existe função potencial) e depois se é irrotacional.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais:
.
Passo 3
Como
e o domínio
(onde
) é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo.
Passo 4
Para achar a função potencial
satisfazendo
, integramos:
, onde
é função a determinar.
Passo 5
Diferenciando em relação a
:
deve ser igual a
.
Logo , integrando:
.
Logo
Passo 6
Substituindo em
obtemos todas as potenciais:
Passo 7
Para verificar se
é irrotacional, usamos o rotor em
:
Resposta
a) O campo é conservativo e todas as funções potenciais são
, com
.
b) Sim, é irrotacional, pois seu rotor é zero:
.
b) Sim,