Considere o campo vetorial F: R^2 R^2 dado por:
F(x, y)=(ln (y^2+1), 2 y(x-1)y^2+1)
a) Determine se F é um campo conservativo, em caso afirmativo encontre todas as funçōes potenciais associadas a F times
b) O campo vetorial F é irrotacional? (Justifique!)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial vec F(x,y) = (P(x,y),Q(x,y)) com
P(x,y)=ln(y^2+1) e Q(x,y)=2y(x-1)y^2+1.
Precisamos verificar se é conservativo (existe função potencial) e depois se é irrotacional.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Ppartial y = ddyl[ln(y^2+1)r] = 2yy^2+1
partial Qpartial x = partialpartial xl[2y(x-1)y^2+1r] = 2yy^2+1.

Passo 3

Como partial P/partial y = partial Q/partial x e o domínio R^2 (onde y^2+1neq0) é simplesmente conexo, concluímos que vec F é conservativo.

Passo 4

Para achar a função potencial varphi(x,y) satisfazendo varphix=P, integramos:
varphi(x,y)=integral ln(y^2+1),dx = xln(y^2+1) + h(y), onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Diferenciando em relação a y:
varphiy = x2yy^2+1 + h'(y) deve ser igual a Q = 2y(x-1)y^2+1 = x2yy^2+1 - 2yy^2+1.
Logo h'(y) = -2yy^2+1, integrando:
h(y) = -ln(y^2+1) + C.

Passo 6

Substituindo em varphi obtemos todas as potenciais:
varphi(x,y) = xln(y^2+1) - ln(y^2+1) + C = (x-1)ln(y^2+1) + C

Passo 7

Para verificar se vec F é irrotacional, usamos o rotor em R^2:
curl,vec F = partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0

Resposta

a) O campo é conservativo e todas as funções potenciais são
varphi(x,y) = (x-1)ln(y^2+1) + C, com Cin R.
b) Sim, vec F é irrotacional, pois seu rotor é zero: partial Q/partial x = partial P/partial y.

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