a)’ Considere a curva
dade por
Determine se
é uma curva parametrizada regular.
Em que pontos a reta tangente de
é vertical?.
b) Determine uma parametrização diferenciável
de uma curva cujo traço seja a circunferência de raio 2, centrada na origem, tal que
percorra em sentido horario ao redor de circunferencia e
.
Em que pontos a reta tangente de
b) Determine uma parametrização diferenciável
Passo 1
Na parte (a) nosso objetivo é verificar se a curva é regular, ou seja, se
para todo
, e em seguida achar onde a reta tangente é vertical (isto acontece quando
mas
).
Passo 2
Calculemos a derivada componente a componente:
Passo 3
Para checar regularidade, vemos se existe
tal que
e
simultaneamente. Da equação
vem
. Da equação
vem
. Não há solução comum, logo
nunca é o vetor nulo e a curva é parametrizada regular.
Passo 4
Para encontrar tangente vertical, impomos
e
. Da condição
obtemos
. Substituindo em
temos
. Portanto há tangentes verticais em
e
.
Agora os pontos correspondentes são:
Para :
.
Para :
.
Agora os pontos correspondentes são:
Para
Para
Passo 5
Na parte (b) queremos uma parametrização diferenciável de raio 2, sentido horário e iniciando em
. A forma padrão
é sentido anti-horário começando em
, então podemos inverter o sinal de ambas as componentes mantendo a mesma frequência.
Assim uma boa escolha é
Assim uma boa escolha é
Verifique que
e que, para
pequeno,
, indicando movimento para baixo a partir de
, isto é, sentido horário ao redor da circunferência.
Resposta
(a) A curva é regular (
sempre). As retas tangentes são verticais em
, nos pontos
e
. (b) Uma parametrização com raio 2, sentido horário e
é
,
.