a)’ Considere a curva theta: R R^2 dade por
theta(t)=(t^3-3 t, t^3-5 t-1)
Determine se theta é uma curva parametrizada regular.
Em que pontos a reta tangente de theta é vertical?.
b) Determine uma parametrização diferenciável alpha:[0,2 pi] R^2 de uma curva cujo traço seja a circunferência de raio 2, centrada na origem, tal que alpha(t) percorra em sentido horario ao redor de circunferencia e com alpha(0)=(-2,0).

Passo 1

Na parte (a) nosso objetivo é verificar se a curva é regular, ou seja, se theta'(t)neq(0,0) para todo t, e em seguida achar onde a reta tangente é vertical (isto acontece quando x'(t)=0 mas y'(t)neq0).

Passo 2

Calculemos a derivada componente a componente:
x(t)=t^3-3tRightarrow x'(t)=3t^2-3,
y(t)=t^3-5t-1Rightarrow y'(t)=3t^2-5

Passo 3

Para checar regularidade, vemos se existe t tal que x'(t)=0 e y'(t)=0 simultaneamente. Da equação 3t^2-3=0 vem t^2=1. Da equação 3t^2-5=0 vem t^2=5/3. Não há solução comum, logo theta'(t) nunca é o vetor nulo e a curva é parametrizada regular.

Passo 4

Para encontrar tangente vertical, impomos x'(t)=0 e y'(t)neq0. Da condição 3t^2-3=0 obtemos t=pm1. Substituindo em y'(t)=3t^2-5 temos y'(pm1)=3-5=-2neq0. Portanto há tangentes verticais em t=1 e t=-1.
Agora os pontos correspondentes são:
Para t=1: theta(1)=l(1^3-3,,1^3-5-1r)=(-2,-5).
Para t=-1: theta(-1)=l((-1)^3+3,,(-1)^3+5-1r)=(2,3).

Passo 5

Na parte (b) queremos uma parametrização diferenciável de raio 2, sentido horário e iniciando em (-2,0). A forma padrão (2cos t,2sin t) é sentido anti-horário começando em (2,0), então podemos inverter o sinal de ambas as componentes mantendo a mesma frequência.
Assim uma boa escolha é
alpha(t)=(-2cos t,-2sin t), tin[0,2pi]
Verifique que alpha(0)=(-2,0) e que, para t>0 pequeno, y(t)=-2sin t<0, indicando movimento para baixo a partir de (-2,0), isto é, sentido horário ao redor da circunferência.

Resposta

(a) A curva é regular ( theta'(t)neq(0,0) sempre). As retas tangentes são verticais em t=pm1, nos pontos (-2,-5) e (2,3). (b) Uma parametrização com raio 2, sentido horário e alpha(0)=(-2,0) é alpha(t)=(-2cos t,-2sin t), tin[0,2pi].

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