Questão 3 (35 pontos). Considere o sistema linear: x+lambda y-z & =1 -x+3 y+lambda z & =lambda 5 y+z & =-1.
(a) Determine os valores possíveis de lambda para que o sistema tenha solução única.
(b) Substitua lambda=0 e encontre a solução do sistema.
(c) Substitua lambda=2 e verifique que o sistema é inconsistente (isto é, não tem solução).

Passo 1

O sistema dado é um sistema linear com parâmetro lambda, mais especificamente

Passo 2

Temos a matriz dos coeficientes

Passo 3

A= 1 & lambda & -1 -1 & 3 & lambda 0 & 5 & 1

Passo 4

e o vetor de termos independentes

Passo 5

b=1 lambda -1

Passo 6

Vamos usar determinantes para achar quando há solução única e depois substituir valores de lambda.

Passo 7

Para um sistema Ax=b ter solução única, precisamos de det(A)neq0.

Passo 8

Calculando o determinante de A:

Passo 9

det(A)=1cdotdet3 & lambda5 & 1-lambdacdotdet-1 & lambda0 & 1-1cdotdet-1 & 30 & 5

Passo 10

Agora cada menor 2×2:

Passo 11

det3 & lambda5 & 1=3cdot1-5lambda=3-5lambda,

Passo 12

det-1 & lambda0 & 1=-1cdot1-0= -1,

Passo 13

det-1 & 30 & 5=-1cdot5-0=-5

Passo 14

Substituindo:

Passo 15

det(A)=(3-5lambda)-lambdacdot(-1)-1cdot(-5)=3-5lambda+lambda+5=8-4lambda=4(2-lambda)

Passo 16

Portanto, det(A)neq0 se, e somente se, 2-lambdaneq0, isto é lambdaneq2.

Passo 17

Agora vamos aos casos pedidos:

Passo 18

Substituindo lambda=0 temos o sistema

Passo 19

x - z =1, -x+3y =0, 5y+z=-1

Passo 20

Da primeira equação vem x=1+z. Da terceira: z=-1-5y. Substituindo em x=1+z obtemos x=1-1-5y=-5y.

Passo 21

Na segunda equação:

Passo 22

-(-5y)+3y=0implies5y+3y=0implies8y=0implies y=0

Passo 23

Logo y=0, depois z=-1-5cdot0=-1 e x=-5cdot0=0.

Passo 24

Portanto a solução para lambda=0 é (x,y,z)=(0,0,-1).

Passo 25

Substituindo lambda=2 no sistema original, obtemos:

Passo 26

x+2y-z=1, -x+3y+2z=2, 5y+z=-1

Passo 27

Da terceira equação: z=-1-5y. Substituindo nas duas primeiras dá uma contradição

Passo 28

na primeira: x+2y+1+5y=1implies x+7y=0, na segunda: -x+3y+2(-1-5y)=2implies -x+3y-2-10y=2implies -x-7y=4

Passo 29

Somando as duas equações resultantes cancela x e y e dá 0=4, impossível. Assim o sistema é inconsistente para lambda=2.

Resposta

a) lambdaneq2. b) (x,y,z)=(0,0,-1). c) Para lambda=2 o sistema é inconsistente.

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