Exercício 2 Seja
uma base de
. Mostre que
onde
, também é uma base
.
Passo 1
O enunciado dá uma base
de um espaço vetorial
e define
Queremos mostrar que
também é base de
. Para isso, basta provar que
gera
e que é linearmente independente.
Passo 2
(
gera
)
Seja . Como
é base, existe uma combinação única
Seja
Observe que
Substituindo em
, temos
onde cada
é combinação dos
. Logo
e
.
Passo 3
(
é linearmente independente )
Suponha que exista uma combinação
Suponha que exista uma combinação
Substituindo
e coletando coeficientes de cada
, vemos que o coeficiente de
é
Para
isso dá
. Em seguida, para
obtemos
, e assim por diante até
. Logo a única combinação que zera é trivial, e
é linearmente independente.