Exercício 2 Seja B=v1, v2, cdots, vn uma base de V. Mostre que C=w1, w2, w3, cdots, wn onde w1=v1, w2=v1+v2, w3=v1+v2+v3, cdots wn=v1+v2+cdots+vn, também é uma base V.

Passo 1

O enunciado dá uma base B=v1,v2,dots,vn de um espaço vetorial V e define
w1=v1, w2=v1+v2, w3=v1+v2+v3,;dots,; wn=v1+v2+cdots+vn
Queremos mostrar que C=w1,w2,dots,wn também é base de V. Para isso, basta provar que C gera V e que é linearmente independente.

Passo 2

( C gera V )
Seja uin V. Como B é base, existe uma combinação única
u=sumi=1^naivi
Observe que
v1=w1, vi=wi-wi-1(forall,i>=2)
Substituindo em u, temos
u =;a1w1 +sumi=2^nai(wi-wi-1) =sumi=1^nciwi,
onde cada ci é combinação dos aj. Logo uinspan(C) e span(C)=V.

Passo 3

( C é linearmente independente )
Suponha que exista uma combinação
sumi=1^nbiwi=0
Substituindo wi=sumj=1^ivj e coletando coeficientes de cada vk, vemos que o coeficiente de vk é
sumi=k^nbi=0, k=1,2,dots,n
Para k=n isso dá bn=0. Em seguida, para k=n-1 obtemos bn-1+bn=0implies bn-1=0, e assim por diante até b1=0. Logo a única combinação que zera é trivial, e C é linearmente independente.

Resposta

C é base de V.

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