Encontre a matriz linha reduzida à forma escada equivalente das seguintes matrizes.
(b) Considerando as matrizes como a matriz aumentada de um sistema linear, determine se o sistema é compatível ou incompatível, determinado ou indeterminado, e o grau de liberdade.
(a) Determine o posto e nulidade das matrizes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas matrizes e precisamos:
Encontrar a matriz linha reduzida à forma escada equivalente para cada uma delas.
Considerar essas matrizes como matrizes aumentadas de um sistema linear e determinar:
Se o sistema é compatível ou incompatível.
Se é determinado ou indeterminado.
O grau de liberdade.
Determinar o posto e a nulidade das matrizes.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como operações elementares de linhas, forma escalonada, posto, e nulidade. Vamos resolver passo a passo para deixar tudo bem claro!
Nosso objetivo é transformar essa matriz na forma linha reduzida à forma escada (também conhecida como forma escalonada reduzida por linhas).
Passo 3
Primeiro, vamos usar a primeira linha como pivô para eliminar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
Linha 2: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
Linha 3: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 3.
Vamos fazer isso:
1 & 2 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 3 0 & 2 & 1 & 0
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Observamos que a Linha 3 tem um 2 na segunda coluna. Vamos usá-la como pivô para eliminar o elemento acima, na Linha 1.
Primeiro, vamos trocar a Linha 2 com a Linha 3 para facilitar:
1 & 2 & 3 & 3 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 3
Agora, vamos usar a Linha 2 para eliminar o 2 da Linha 1:
Linha 1: Subtrair (2/2) = 1 vez a Linha 2 da Linha 1.
1 & 0 & 2 & 3 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 3
Passo 5
Agora, observamos que na Linha 3 temos um elemento não nulo na última coluna, o que indica que o sistema pode ser inconsistente. Mas vamos continuar para ter a forma reduzida.
Vamos dividir a Linha 2 por 2 para normalizar o pivô:
1 & 0 & 2 & 3 0 & 1 & 0.5 & 0 0 & 0 & 0 & 3
Por fim, a Linha 3 já está na melhor forma possível.
Passo 6
Então, a matriz linha reduzida à forma escada da matriz (a) é:
1 & 0 & 2 & 3 0 & 1 & 0.5 & 0 0 & 0 & 0 & 3
Passo 7
Agora, vamos analisar se o sistema é compatível ou incompatível.
Na terceira linha, temos 0x + 0y + 0z = 3, o que é uma afirmação impossível (0 = 3). Isso significa que o sistema é incompatível, ou seja, não tem solução.
Passo 8
Como o sistema é incompatível, ele não é nem determinado nem indeterminado. O grau de liberdade não se aplica nesse caso, pois não há soluções.
Passo 9
Agora, vamos determinar o posto e a nulidade da matriz.
O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas na sua forma escalonada. Aqui, temos 3 linhas, mas a terceira linha é inconsistente. Então, considerando apenas as duas primeiras linhas que têm pivôs, o posto é 2.
A nulidade é a diferença entre o número de colunas da matriz e o posto. A matriz (a) tem 4 colunas.
Nulidade = 4 - 2 = 2
Resposta
A matriz linha reduzida à forma escada para a matriz (a) é
1 & 0 & 2 & 3 0 & 1 & 0.5 & 0 0 & 0 & 0 & 3
O sistema associado é incompatível. O posto da matriz é 2 e sua nulidade é 2.