Considere o campo vetorial
dado por
. Seja o sólido
Seja a superficie
orientada positivamente. Utilizando o teorema de Gauss, calcule a integral de superficie
Passo 1
Estamos querendo calcular a integral de fluxo de
através da superfície fechada
. Pela fórmula do Teorema de Gauss, podemos transformar
Passo 2
Primeiro precisamos achar a divergência de
. Calculamos cada derivada parcial:
$$\nabla\cdot F = \frac{\partial}{\partial x}(x z2-3z2) + \frac{\partial}{\partial y}(yx^2-\cos z) + \frac{\partial}{\partial z}(2x+zy^2).
$$
Passo 3
Isso dá
$$\nabla\cdot F = z^2 + x^2 + y^2.
$$
Passo 4
Agora, a região
é dada por
ou seja, é a bola de raio 1 centrada em
Passo 5
Para facilitar a integração, fazemos a mudança de variável centrando a bola na origem:
. Nesse sistema,
Passo 6
Então a integral de volume fica
Passo 7
Que podemos separar em três partes:
-
, -
, -
.
Passo 8
Pela simetria da bola,
(integral de função ímpar).
O termo é conhecido:
O termo
$$I_1=\iiint_{r’\le1} {r’}^2,dV = 4\pi \int_0^1 r’^4 dr’ = \frac{4\pi}{5}.
$$
Passo 9
E
é o volume da bola de raio 1:
$$I_3 = \frac{4\pi}{3}.
$$
Passo 10
Somando tudo:
$$\iiint_W (x2+y2+z^2),dV = \frac{4\pi}{5} + 0 + \frac{4\pi}{3} = \frac{32\pi}{15}.
$$