Considere o campo vetorial F: R^3 R^3 dado por F(x, y, z)=(x z^2-3 z^2, y x^2-cos (z), 2 x+z y^2). Seja o sólido
W=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2 <= 2 z
Seja a superficie S=partial W orientada positivamente. Utilizando o teorema de Gauss, calcule a integral de superficie
integral duplaS(F cdot n) d s

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral de fluxo de F através da superfície fechada S=partial W. Pela fórmula do Teorema de Gauss, podemos transformar
integral duplaSFcdot n,ds = integral triplaW nablacdot F,dV

Passo 2

Primeiro precisamos achar a divergência de F(x,y,z)=(x z^2-3z^2,;yx^2-cos z,;2x+zy^2). Calculamos cada derivada parcial:
$$\nabla\cdot F = \frac{\partial}{\partial x}(x z2-3z2) + \frac{\partial}{\partial y}(yx^2-\cos z) + \frac{\partial}{\partial z}(2x+zy^2).
$$

Passo 3

Isso dá
$$\nabla\cdot F = z^2 + x^2 + y^2.
$$

Passo 4

Agora, a região W é dada por
x^2+y^2+z^2 <= 2z iff x^2+y^2+(z-1)^2 <= 1,
ou seja, é a bola de raio 1 centrada em (0,0,1).

Passo 5

Para facilitar a integração, fazemos a mudança de variável centrando a bola na origem: u=x,;v=y,;w=z-1. Nesse sistema,
x^2+y^2+z^2 = u^2+v^2+(w+1)^2 = (u^2+v^2+w^2) + 2w + 1

Passo 6

Então a integral de volume fica
integral triplaW(x^2+y^2+z^2),dV = integral triplau^2+v^2+w^2<=1l(u^2+v^2+w^2+2w+1r),dV

Passo 7

Que podemos separar em três partes:
  1. I1=integral tripla (u^2+v^2+w^2),dV,
  2. I2=2,integral tripla w,dV,
  3. I3=integral tripla 1,dV.

Passo 8

Pela simetria da bola, I2=0 (integral de função ímpar).
O termo I1 é conhecido:
$$I_1=\iiint_{r’\le1} {r’}^2,dV = 4\pi \int_0^1 r’^4 dr’ = \frac{4\pi}{5}.
$$

Passo 9

E I3 é o volume da bola de raio 1:
$$I_3 = \frac{4\pi}{3}.
$$

Passo 10

Somando tudo:
$$\iiint_W (x2+y2+z^2),dV = \frac{4\pi}{5} + 0 + \frac{4\pi}{3} = \frac{32\pi}{15}.
$$

Resposta

32pi15

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