Considere o campo vetorial f: R^2-(0,0) longrightarrow R^2-(0,0) dado por:
f(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j
e a região com buracos limitada pelos círculos: x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4. Verificar o teorema de Green.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar o Teorema de Green para um campo vetorial específico e uma região que é como um anel, ou seja, limitada por dois círculos: um com raio 1 e outro com raio 2. O Teorema de Green é uma ferramenta que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, calcular integrais de linha e integrais duplas, além de lidar com a região que tem um “buraco” no meio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green diz. Ele estabelece que para um campo vetorial F = P,i + Q,j e uma região simplesmente conectada D com fronteira C, temos:
ointC (P,dx + Q,dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Nesse caso, nossa região não é simplesmente conectada porque tem um “buraco” (o círculo menor de raio 1). Então, precisamos considerar ambas as fronteiras: a externa e a interna.

Passo 3

Vamos identificar as funções P e Q no nosso campo vetorial:
f(x, y) = -yx^2+y^2 i + xx^2+y^2 j
Assim, temos:
P = -yx^2+y^2 e Q = xx^2+y^2

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla no Teorema de Green:
partial Qpartial x = partialpartial x ( xx^2+y^2 )
partial Ppartial y = partialpartial y ( -yx^2+y^2 )
Vamos resolver cada uma delas.

Passo 5

Calculando partial Qpartial x:
Usando a regra do quociente:
partial Qpartial x = (1)(x^2+y^2) - x(2x)(x^2+y^2)^2 = x^2+y^2 - 2x^2(x^2+y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2

Passo 6

Calculando partial Ppartial y:
Primeiro, note que P = -yx^2+y^2. Aplicando a derivada:
partial Ppartial y = -(1)(x^2+y^2) - y(2y)(x^2+y^2)^2 = -x^2+y^2 - 2y^2(x^2+y^2)^2 = -x^2 - y^2(x^2+y^2)^2

Passo 7

Agora, vamos calcular partial Qpartial x - partial Ppartial y:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2 - ( -x^2 - y^2(x^2+y^2)^2 ) = -x^2 + y^2 + x^2 - y^2(x^2+y^2)^2 = 0
Isso quer dizer que a diferença das derivadas parciais é zero em toda a região.

Passo 8

Com isso, a integral dupla no Teorema de Green fica:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy = integral duplaD 0 , dx,dy = 0

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral de linha ao redor da fronteira da região D. Como a região tem um buraco, a fronteira consiste em duas curvas: a externa ( x^2+y^2=4) e a interna ( x^2+y^2=1). Segundo o Teorema de Green, a integral total será a soma das duas integrais, considerando a orientação adequada (a externa no sentido anti-horário e a interna no sentido horário).
No entanto, já vimos que a integral dupla é zero, então a soma das integrais de linha também deve ser zero:
ointCexterno f cdot dr + ointCinterno f cdot dr = 0
Isso verifica o Teorema de Green para o campo vetorial dado e a região especificada.

Resposta

O Teorema de Green está verificado para o campo vetorial dado e a região com buracos delimitada pelos círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, já que a integral dupla é igual a zero e a soma das integrais de linha ao redor das fronteiras também resulta em zero.

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