Considere o campo vetorial
dado por:
e a região com buracos limitada pelos círculos:
e
. Verificar o teorema de Green.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar o Teorema de Green para um campo vetorial específico e uma região que é como um anel, ou seja, limitada por dois círculos: um com raio 1 e outro com raio 2. O Teorema de Green é uma ferramenta que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, calcular integrais de linha e integrais duplas, além de lidar com a região que tem um “buraco” no meio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green diz. Ele estabelece que para um campo vetorial
e uma região simplesmente conectada
com fronteira
, temos:
Nesse caso, nossa região não é simplesmente conectada porque tem um “buraco” (o círculo menor de raio 1). Então, precisamos considerar ambas as fronteiras: a externa e a interna.
Passo 3
Vamos identificar as funções
e
no nosso campo vetorial:
Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla no Teorema de Green:
Vamos resolver cada uma delas.
Passo 5
Calculando
:
Usando a regra do quociente:
Passo 6
Calculando
:
Primeiro, note que
. Aplicando a derivada:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Isso quer dizer que a diferença das derivadas parciais é zero em toda a região.
Passo 8
Com isso, a integral dupla no Teorema de Green fica:
Passo 9
Agora, vamos calcular a integral de linha ao redor da fronteira da região
. Como a região tem um buraco, a fronteira consiste em duas curvas: a externa (
) e a interna (
). Segundo o Teorema de Green, a integral total será a soma das duas integrais, considerando a orientação adequada (a externa no sentido anti-horário e a interna no sentido horário).
No entanto, já vimos que a integral dupla é zero, então a soma das integrais de linha também deve ser zero:
Isso verifica o Teorema de Green para o campo vetorial dado e a região especificada.
Resposta
O Teorema de Green está verificado para o campo vetorial dado e a região com buracos delimitada pelos círculos
e
, já que a integral dupla é igual a zero e a soma das integrais de linha ao redor das fronteiras também resulta em zero.