Seja f=(y z+2) i+(x z+1) j+(x y+2 z) k
Calcule integralC f cdot d r onde C é a curva alpha(t)=(cos (t), sin (t), t)
com t in[0,2 pi]. com t in[0,2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha de um campo vetorial f ao longo de uma curva C. Aqui, o campo vetorial é dado por f=(y z+2) i+(x z+1) j+(x y+2 z) k e a curva C é parametrizada por alpha(t)=(cos(t), sin(t), t) com t variando de 0 a 2pi. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular integralC f cdot d r. Isso é a integral de linha que, basicamente, soma o produto escalar do campo vetorial f com o diferencial do vetor posição dr ao longo da curva C. Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva e expressar f em termos dessa parametrização.

Passo 3

A curva C está parametrizada por alpha(t) = (cos(t), sin(t), t) com t in [0, 2pi]. Vamos denotar x = cos(t), y = sin(t) e z = t. Agora, vamos calcular o vetor derivada alpha'(t), que é o vetor velocidade da curva.

Passo 4

Calculando a derivada de alpha(t) em relação a t:
alpha'(t) = ( ddtcos(t), ddtsin(t), ddt t ) = (-sin(t), cos(t), 1)
Esse vetor alpha'(t) representa dr.

Passo 5

Agora, vamos substituir x, y e z na expressão do campo vetorial f usando a parametrização:
f(alpha(t)) = (y z + 2) i + (x z + 1) j + (x y + 2 z) k = (sin(t) cdot t + 2) i + (cos(t) cdot t + 1) j + (cos(t) cdot sin(t) + 2 t) k

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar f(alpha(t)) cdot alpha'(t):
f(alpha(t)) cdot alpha'(t) = (sin(t) t + 2)(-sin(t)) + (cos(t) t + 1)(cos(t)) + (cos(t)sin(t) + 2 t)(1)
Vamos simplificar cada termo separadamente.

Passo 7

Simplificando cada parte:
  • Primeiro termo: (sin(t) t + 2)(-sin(t)) = -t sin^2(t) - 2 sin(t)
  • Segundo termo: (cos(t) t + 1)(cos(t)) = t cos^2(t) + cos(t)
  • Terceiro termo: (cos(t)sin(t) + 2 t)(1) = cos(t)sin(t) + 2 t

Passo 8

Somando tudo:
-t sin^2(t) - 2 sin(t) + t cos^2(t) + cos(t) + cos(t)sin(t) + 2 t
Vamos combinar termos semelhantes:
-t (sin^2(t) - cos^2(t)) + 2 t + (-2 sin(t) + cos(t) + cos(t)sin(t))

Passo 9

Agora, reescrevendo a expressão:
t (cos^2(t) - sin^2(t) + 2) + cos(t)(1 + sin(t)) - 2 sin(t)
Podemos usar a identidade trigonométrica cos^2(t) - sin^2(t) = cos(2t) para simplificar:
t (cos(2t) + 2) + cos(t)(1 + sin(t)) - 2 sin(t)

Passo 10

Agora, a integral se torna:
integral0^2pi [ t (cos(2t) + 2) + cos(t)(1 + sin(t)) - 2 sin(t) ] dt
Vamos resolver essa integral term por term.

Passo 11

Calculando cada integral separadamente:
  1. integral0^2pi t cos(2t) dt – Podemos usar integração por partes.
  2. integral0^2pi 2t dt = 2 integral0^2pi t dt = 2 [ t^22 ]0^2pi = 2 cdot (2pi)^22 = 2pi^2
  3. integral0^2pi cos(t) dt = [sin(t)]0^2pi = 0
  4. integral0^2pi cos(t)sin(t) dt = 12 integral0^2pi sin(2t) dt = 0
  5. integral0^2pi -2 sin(t) dt = 2 cos(t) gr|0^2pi = 2(cos(2pi) - cos(0)) = 0

Passo 12

Focando na integral integral0^2pi t cos(2t) dt usando integração por partes:
Seja:
  • u = t du = dt
  • dv = cos(2t) dt v = sin(2t)2
Aplicando integração por partes:
integral t cos(2t) dt = t cdot sin(2t)2 - integral sin(2t)2 dt = t sin(2t)2 + cos(2t)4 + C
Avaliado de 0 a 2pi:
[ 2pi sin(4pi)2 + cos(4pi)4 ] - [ 0 cdot sin(0)2 + cos(0)4 ] = [ 0 + 14 ] - [ 0 + 14 ] = 0

Passo 13

Somando todas as integrais:
0 (da integral t cos(2t) dt) + 2pi^2 + 0 + 0 + 0 = 2pi^2

Resposta

A integral integralC f cdot d r vale 2pi^2.

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