Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . Aqui, o campo vetorial é dado por e a curva é parametrizada por com variando de a . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular . Isso é a integral de linha que, basicamente, soma o produto escalar do campo vetorial com o diferencial do vetor posição ao longo da curva . Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva e expressar em termos dessa parametrização.
Passo 3
A curva está parametrizada por com . Vamos denotar , e . Agora, vamos calcular o vetor derivada , que é o vetor velocidade da curva.
Passo 4
Calculando a derivada de em relação a :
Esse vetor representa .
Passo 5
Agora, vamos substituir , e na expressão do campo vetorial usando a parametrização:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar :
Vamos simplificar cada termo separadamente.
Passo 7
Simplificando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 8
Somando tudo:
Vamos combinar termos semelhantes:
Passo 9
Agora, reescrevendo a expressão:
Podemos usar a identidade trigonométrica para simplificar:
Passo 10
Agora, a integral se torna:
Vamos resolver essa integral term por term.
Passo 11
Calculando cada integral separadamente:
– Podemos usar integração por partes.
Passo 12
Focando na integral integral0^2pi t cos(2t) dt usando integração por partes:
Seja:
u = t ⇒ du = dt
dv = cos(2t) dt ⇒ v = sin(2t)2
Aplicando integração por partes:
integral t cos(2t) dt = t cdot sin(2t)2 - integral sin(2t)2 dt = t sin(2t)2 + cos(2t)4 + C