Considere o campo vetorial dado por \vec{F}=(2 x+z) \vec{i}+2 y \vec{j}+x \vec{k} e a curva C dada por \vec{r}=\cos (\pi t) \vec{i}+\operatorname{sen}(\pi t) \vec{j}+\pi t \vec{k}, 0 \leq t \leq 1.
Item a) (1.0pt) Determine se \vec{F} é um campo conservativo indicando, se existir, o respectivo potencial g(x, y, z) (nulo na origem).
Item b) (1.0pt) Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.
O item (a) pede para verificar se \vec{F} é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar um potencial g com g(0,0,0)=0. O item (b) solicita o cálculo de \displaystyle\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}. Para isso, vamos usar o teste do rotacional e, se for conservativo, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos vetoriais.
Passo 2
Verificamos se \vec{F} é conservativo calculando o rotacional \nabla \times \vec{F}. Em coordenadas,