Considere o campo vetorial dado por
\vec{F}=(2 x+z) \vec{i}+2 y \vec{j}+x \vec{k} e a curva C dada por \vec{r}=\cos (\pi t) \vec{i}+\operatorname{sen}(\pi t) \vec{j}+\pi t \vec{k}, 0 \leq t \leq 1.
  • Item a) (1.0pt) Determine se \vec{F} é um campo conservativo indicando, se existir, o respectivo potencial g(x, y, z) (nulo na origem).
  • Item b) (1.0pt) Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O enunciado apresenta o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z) = (2x+z)\,\vec{i} \;+\; 2y\,\vec{j} \;+\; x\,\vec{k}
e a curva
\vec{r}(t) = \cos(\pi t)\,\vec{i} + \sin(\pi t)\,\vec{j} + \pi t\,\vec{k}, \quad 0 \le t \le 1.
O item (a) pede para verificar se \vec{F} é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar um potencial g com g(0,0,0)=0. O item (b) solicita o cálculo de \displaystyle\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}. Para isso, vamos usar o teste do rotacional e, se for conservativo, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos vetoriais.

Passo 2

Verificamos se \vec{F} é conservativo calculando o rotacional \nabla \times \vec{F}. Em coordenadas,
\vec{F} = \bigl(F_1,F_2,F_3\bigr) \quad\text{com}\quad F_1 = 2x+z,\;F_2 = 2y,\;F_3 = x.
O rotacional é dado por
\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix} = \bigl(\partial_y F_3 - \partial_z F_2\bigr)\vec{i} + \bigl(\partial_z F_1 - \partial_x F_3\bigr)\vec{j} + \bigl(\partial_x F_2 - \partial_y F_1\bigr)\vec{k}.
Calculando cada componente:
\partial_y F_3 - \partial_z F_2 = 0 - 0 = 0,
\partial_z F_1 - \partial_x F_3 = 1 - 1 = 0,
\partial_x F_2 - \partial_y F_1 = 0 - 0 = 0.
Logo \nabla\times\vec{F} = \vec{0}, isto é, \vec{F} é conservativo em todo \mathbb{R}^3.

Passo 3

Como \vec{F} é conservativo, existe g(x,y,z) tal que \nabla g = \vec{F}. Escrevemos
\frac{\partial g}{\partial x} = 2x+z, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial g}{\partial z} = x.
Integramos \partial g/\partial x em relação a x:
g(x,y,z) = \int (2x+z)\,dx = x^2 + xz + h(y,z),
onde h é função arbítraria de y,z.

Passo 4

Para determinar h(y,z), usamos as outras derivadas. Da condição
\partial g/\partial y = 2y segue
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 + xz + h(y,z)\bigr) = \frac{\partial h}{\partial y} = 2y \quad\Longrightarrow\quad h(y,z) = y^2 + k(z).
Em seguida, de \partial g/\partial z = x exigimos
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^2 + xz + y^2 + k(z)\bigr) = x + k'(z) = x \quad\Longrightarrow\quad k'(z)=0
portanto k(z) é constante. Para g(0,0,0)=0 essa constante vale zero. Concluímos
g(x,y,z) = x^2 + y^2 + xz.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental,
\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = g\bigl(\vec{r}(1)\bigr) \;-\; g\bigl(\vec{r}(0)\bigr).
Temos \vec{r}(0) = (1,0,0) e \vec{r}(1) = (-1,0,\pi). Logo
g\bigl(1,0,0\bigr) = 1^2 + 0 + 1\cdot 0 = 1, \quad g\bigl(-1,0,\pi\bigr) = (-1)^2 + 0 + (-1)\pi = 1 - \pi.
Assim,
\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \bigl(1 - \pi\bigr) - 1 = -\pi.

Resposta

(a) \vec{F} é conservativo e um potencial que satisfaz g(0,0,0)=0 é
g(x,y,z) = x^2 + y^2 + xz.
(b)
\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = -\pi.

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