• Questão 2 (1.0 ponto cada item) Considerando a superfície parametrizada (guarda-chuva de Whitney)
\vec{r}=u v \vec{i}+u \vec{j}+v^{2} \vec{k}
no ponto em que u=8, v=2, é correto:
(A) vetor normal unitário \vec{N} :
( ) \frac{\vec{i}-2 \vec{j}-2 \vec{k}}{3}
( ) \frac{\vec{i}+2 \vec{j}-2 \vec{k}}{3}
( ) \frac{\vec{i}+2 \vec{j}+2 \vec{k}}{3}
( ) \frac{\vec{i}-2 \vec{j}+2 \vec{k}}{3}
( ) Nenhuma das anteriores
(B) equação cartesiana do plano tangente
( ) (x-16)+2(y-8)-2(z-4)=0
( ) (x-16)-\frac{y-8}{2}-\frac{z-4}{2}=0
( ) 16(x-1)+8(y+2)+4(z+2)=0
( ) (x-16)-2(y-8)+2(z-4)=0
( ) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície parametrizada
\vec{r}(u,v)=u\,v\,\mathbf{i}+u\,\mathbf{j}+v^{2}\,\mathbf{k}
e pede, no ponto (u,v)=(8,2), (A) o vetor normal unitário e (B) a equação cartesiana do plano tangente. Para isso vamos calcular os vetores tangentes \vec{r}_u e \vec{r}_v, fazer o produto vetorial para obter o normal e, em seguida, normalizar e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\vec{r}_u=(v,\,1,\,0),\qquad \vec{r}_v=(u,\,0,\,2v).
No ponto (8,2) temos
\vec{r}_u(8,2)=(2,1,0) e \vec{r}_v(8,2)=(8,0,4).
O produto vetorial é
\vec{r}_u\times\vec{r}_v =\det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ 2&1&0\\\ 8&0&4\end{pmatrix} =4\,\mathbf{i}-8\,\mathbf{j}-8\,\mathbf{k}.

Passo 3

O vetor normal é \vec{n}=(4,-8,-8) e seu módulo é
\|\vec{n}\|=\sqrt{4^2+(-8)^2+(-8)^2}=\sqrt{144}=12.
Assim o normal unitário é
\vec{N}=\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|} =\frac{1}{12}(4\,\mathbf{i}-8\,\mathbf{j}-8\,\mathbf{k}) =\frac{\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}-2\,\mathbf{k}}{3}.
Comparando com as alternativas de (A), corresponde à primeira opção.

Passo 4

Para o plano tangente, use
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-\vec{r}(8,2)\bigr)=0,
onde \vec{r}(8,2)=(16,8,4) e \vec{n}=(4,-8,-8). Isso dá
4(x-16)-8(y-8)-8(z-4)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-16)-2(y-8)-2(z-4)=0.
Nenhuma das formas dadas em (B) coincide com essa expressão, logo a resposta é “Nenhuma das anteriores”.

Resposta

(A) \displaystyle \frac{\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}-2\,\mathbf{k}}{3}
(B) Nenhuma das anteriores

Exercícios relacionados