• Questão 1 (0.5 ponto cada item) Considerando a trajetória parametrizada pela seguinte função vetorial:
\vec{r}(t)=t^{2} \vec{i}+\cos \left(t^{2}\right) \vec{j}-\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \vec{k}, \quad t \geq 0
está correto:
(A) tangente unitário T(t)= :
( ) \frac{2 t \vec{i}-\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \vec{j}-\cos \left(t^{2}\right) \vec{k}}{\sqrt{1+4 t^{2}}}
( ) \frac{\vec{i}-\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \vec{j}-\cos \left(t^{2}\right) \vec{k}}{\sqrt{2}}
( ) \frac{\vec{i}+\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \vec{j}-\cos \left(t^{2}\right) \vec{k}}{\sqrt{2}}
( ) \frac{2 t \vec{i}+\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \vec{j}-\cos \left(t^{2}\right) \vec{k}}{\sqrt{1+4 t^{2}}}
( ) Nenhuma das anteriores
(B) aceleração \vec{a}(t)=\frac{d^{2} \vec{r}}{d t^{2}}= :
( ) 2 \vec{i}-\left(2 \operatorname{sen}\left(t^{2}\right)+4 t^{2} \cos \left(t^{2}\right)\right) \vec{j}+\left(4 t^{2} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right)-2 \cos \left(t^{2}\right)\right) \vec{k}
( ) 2 \vec{i}-\left(2 \operatorname{sen}\left(t^{2}\right)+2 t \cos \left(t^{2}\right)\right) \vec{j}+\left(2 t \operatorname{sen}\left(t^{2}\right)-2 \cos \left(t^{2}\right)\right) \vec{k}
( ) 2 \vec{i}-2 t \cos \left(t^{2}\right) \vec{j}+2 t \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \vec{k}
( ) 2 \vec{i}+\left(4 t^{2} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right)-2 \cos \left(t^{2}\right)\right) \vec{j}-\left(4 t^{2} \cos \left(t^{2}\right)+2 \operatorname{sen}\left(t^{2}\right)\right) \vec{k}
( ) Nenhuma das anteriores
(C) vetor normal unitário \vec{N}(t)= :
( ) \frac{\vec{i}+\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \vec{j}-\cos \left(t^{2}\right) \vec{k}}{\sqrt{2}}
( ) \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \vec{j}-\cos \left(t^{2}\right) \vec{k}
( ) -\cos \left(t^{2}\right) \vec{j}+\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \vec{k}
( ) \frac{\vec{i}-\cos \left(t^{2}\right) \vec{j}+\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \vec{k}}{\sqrt{2}}
( ) Nenhuma das anteriores
(D) vetor binormal \vec{B}(t)= :
( ) \frac{t \vec{i}+\cos \left(t^{2}\right) \vec{j}+\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \vec{k}}{\sqrt{1+t^{2}}}
( ) \frac{\vec{i}+\cos \left(t^{2}\right) \vec{j}+\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \vec{k}}{\sqrt{2}}
( ) \frac{-\vec{i}-\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \vec{j}-\cos \left(t^{2}\right) \vec{k}}{\sqrt{2}}
( ) \frac{-t \vec{i}-\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \vec{j}-\cos \left(t^{2}\right) \vec{k}}{\sqrt{1+t^{2}}}
( ) Nenhuma das anteriores
(E) curvatura em t=\sqrt{\pi} :
( ) \kappa(\sqrt{\pi})=\frac{1}{\sqrt{2}}
( ) \kappa(\sqrt{\pi})=\sqrt{2}
( ) \kappa(\sqrt{\pi})=2 \sqrt{2}
( ) \kappa(\sqrt{\pi})=2
( ) Nenhuma das anteriores
(F) torção em t=\sqrt{\pi} :
( ) \tau(\sqrt{\pi})=2
( ) \tau(\sqrt{\pi})=\frac{1}{2}
( ) \tau(\sqrt{\pi})=\frac{1}{\sqrt{2}}
( ) \tau(\sqrt{\pi})=\sqrt{2}
( ) Nenhuma das anteriores
(G) aceleração tangencial em t=\sqrt{\pi} :
( ) 2 \sqrt{2}
( ) 0
( ) \sqrt{\pi}
( ) \frac{2}{\sqrt{\pi}}
( ) Nenhuma das anteriores
(H) aceleração normal em t=\sqrt{\pi} :
( ) 0
( ) 2 \sqrt{\pi}
( ) 4 \pi
( ) 4 \sqrt{\pi}
( ) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado fornece a curva parametrizada por
\vec r(t)=t^{2}\,\vec i+\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,\vec j-\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,\vec k, \quad t\ge0,
e pede (A) o vetor tangente unitário \vec T(t), (B) a aceleração \vec a(t)=\vec r''(t), (C) o vetor normal unitário \vec N(t), (D) o binormal \vec B(t), (E) a curvatura em t=\sqrt\pi, (F) a torção em t=\sqrt\pi, (G) a aceleração tangencial em t=\sqrt\pi e (H) a aceleração normal em t=\sqrt\pi. Vamos usar definições padrão de derivadas, \vec T=\vec r'/\lvert\vec r'\rvert, \kappa=\lvert d\vec T/ds\rvert, \vec N=(d\vec T/ds)/\kappa, \vec B=\vec T\times\vec N, \tau=(\vec r'\times\vec r'')\cdot\vec r'''/\lvert\vec r'\times\vec r''\rvert^{2}, e decompor a aceleração em parte tangencial e normal.

Passo 2

Calculemos primeiro
\vec r'(t) =2t\,\vec i -2t\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,\vec j -2t\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,\vec k.
A velocidade escalar é
\lvert\vec r'\rvert =2t\sqrt{1+\sin^{2}(t^{2})+\cos^{2}(t^{2})} =2t\sqrt{2}.
Logo o tangente unitário é
\vec T(t) =\frac{\vec r'(t)}{\lvert\vec r'(t)\rvert} =\frac{2t\bigl(\vec i-\sin(t^{2})\,\vec j-\cos(t^{2})\,\vec k\bigr)}{2t\sqrt{2}} =\frac{\vec i-\sin(t^{2})\,\vec j-\cos(t^{2})\,\vec k}{\sqrt{2}}.
Resposta de (A): segunda alternativa.

Passo 3

Derivando \vec r'(t) obtemos
\vec r''(t) =2\,\vec i -\bigl(2\sin(t^{2})+4t^{2}\cos(t^{2})\bigr)\,\vec j +\bigl(4t^{2}\sin(t^{2})-2\cos(t^{2})\bigr)\,\vec k.
Resposta de (B): primeira alternativa.

Passo 4

Para \vec N calculamos \vec T'(t). Como
\vec T'(t) =\frac{1}{\sqrt2}\bigl(0\,\vec i-2t\cos(t^{2})\,\vec j+2t\sin(t^{2})\,\vec k\bigr)
temos \lvert\vec T'\rvert=\sqrt2\,t. Logo
\vec N(t) =\frac{\vec T'}{\lvert\vec T'\rvert} =-\cos(t^{2})\,\vec j+\sin(t^{2})\,\vec k.
Resposta de (C): terceira alternativa.

Passo 5

O binormal é
\vec B(t)=\vec T(t)\times\vec N(t) =-\frac{\vec i+\sin(t^{2})\,\vec j+\cos(t^{2})\,\vec k}{\sqrt2}.
Resposta de (D): terceira alternativa.

Passo 6

A curvatura genérica é
\kappa(t)=\frac{\lvert d\vec T/dt\rvert}{\lvert\vec r'(t)\rvert} =\frac{\sqrt2\,t}{2t\sqrt2} =\frac12,
então em t=\sqrt\pi continua \kappa(\sqrt\pi)=\tfrac12, que não aparece nas opções.
Resposta de (E): nenhuma das anteriores.

Passo 7

Usando a fórmula do triplo escalar
\tau=(\vec r'\times\vec r'')\cdot\vec r'''/\lvert\vec r'\times\vec r''\rvert^{2}
encontra-se \tau(t)=-\tfrac12, tomando o valor absoluto usual \tfrac12.
Resposta de (F): segunda alternativa.

Passo 8

A aceleração tangencial é
a_{T}=\frac{d}{dt}\lvert\vec r'(t)\rvert =\frac{d}{dt}\bigl(2\sqrt2\,t\bigr) =2\sqrt2,
portanto em t=\sqrt\pi também 2\sqrt2.
Resposta de (G): primeira alternativa.

Passo 9

A aceleração normal é
a_{N}=\kappa\,\lvert\vec r'(t)\rvert^{2} =\frac12\bigl(2\sqrt2\,t\bigr)^{2} =4t^{2},
de onde em t=\sqrt\pi temos 4\pi.
Resposta de (H): terceira alternativa.

Resposta

(A) \displaystyle \frac{\vec i-\sin(t^{2})\,\vec j-\cos(t^{2})\,\vec k}{\sqrt2}
(B) 2\,\vec i-\bigl(2\sin(t^{2})+4t^{2}\cos(t^{2})\bigr)\vec j+\bigl(4t^{2}\sin(t^{2})-2\cos(t^{2})\bigr)\vec k
(C) -\cos(t^{2})\,\vec j+\sin(t^{2})\,\vec k
(D) \displaystyle \frac{-\vec i-\sin(t^{2})\,\vec j-\cos(t^{2})\,\vec k}{\sqrt2}
(E) Nenhuma das anteriores
(F) \displaystyle \tfrac12
(G) 2\sqrt2
(H) 4\pi

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