integral tg thetasec ^2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral tanthetasec^2theta,dtheta
O conteúdo é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar o integrando e depois aplicar uma substituição simples.

Passo 2

Usamos as identidades
tantheta = sinthetacostheta e sec^2theta = 1cos^2theta. Assim,
tanthetasec^2theta = sintheta/costheta1/cos^2theta = sinthetacostheta

Passo 3

A integral fica
integral sinthetacostheta,dtheta
Para resolver, fazemos a substituição u=sintheta, de modo que du=costheta,dtheta. Então
integral sinthetacostheta,dtheta = integral u,du

Passo 4

Integrando integral u,du obtemos
u^22 + C
Voltando a u=sintheta,
sin^2theta2 + C

Resposta

12sin^2theta + C

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