Considere o campo vetorial em R^3-(0,0,0) definido por
F(x, y, z)=(xraiz(x^2+y^2+z^2)^3, yraiz(x^2+y^2+z^2)^3, zraiz(x^2+y^2+z^2)^3)
Explique porque não é possível utilizar o Teorema de Gauss para efetuar o cálculo do item (b).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial definido em R^3setminus(0,0,0) por
vec F(x,y,z)=l(xraiz(x^2+y^2+z^2)^3,,yraiz(x^2+y^2+z^2)^3,,zraiz(x^2+y^2+z^2)^3r)
e o item (b) pede o cálculo do fluxo de vec F por uma superfície que envolve a origem. Vamos analisar o Teorema de Gauss e suas hipóteses para ver por que não podemos usá-lo aqui.

Passo 2

O Teorema de Gauss (ou Divergência) afirma que, para um campo vec F de classe C^1 num domínio aberto que contenha um volume V e sua fronteira suave S=partial V, vale
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS ;=;integral triplaVnablacdotvec F,dV
As hipóteses essenciais são que vec F e sua divergência nablacdotvec F sejam contínuas em todo o interior de Vcup S.

Passo 3

No nosso caso, o volume V em que se deseja aplicar o teorema envolve o ponto (0,0,0), mas o campo vec F não está definido nem é diferenciável em (0,0,0). Logo vec F não é de classe C^1 em um domínio que contenha todo V. Essa falha na hipótese de regularidade impede o uso do Teorema de Gauss.

Resposta

Não é possível usar o Teorema de Gauss porque vec F não é de classe C^1 em um domínio que inclua o ponto (0,0,0), o qual fica dentro do volume considerado no item (b).

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