1. y d x+(2 x-y e^y) d y=0, mu(x, y)=y

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y,dx + l(2x - y e^yr),dy = 0
e informa que um fator integrante é mu(x,y)=y. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas: primeiro multiplicamos pela mu, depois verificamos exatidão e, por fim, achamos a função potencial psi(x,y).

Passo 2

Multiplicando a EDO por mu=y, obtemos
M(x,y) = ycdot y = y^2, N(x,y) = yl(2x - y e^yr) = 2xy - y^2 e^y

Passo 3

Verificamos exatidão calculando
partial Mpartial y = 2y, partial Npartial x = 2y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata após multiplicar por y.

Passo 4

Para encontrar a função potencial psi(x,y) satisfazendo
partial psipartial x = M(x,y) = y^2,
integramos em x, tratando y como constante:
psi(x,y) = integral y^2,dx = x,y^2 + h(y)

Passo 5

Diferenciamos psi em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial psipartial y = 2xy + h'(y) = 2xy - y^2 e^y
Logo
h'(y) = -,y^2 e^y

Passo 6

Integramos para obter h(y):
h(y) = integral -y^2 e^y,dy = -integral y^2 e^y,dy
Por partes ou lembrando que integral y^2 e^y,dy = e^y,(y^2 - 2y + 2), vem
h(y) = -,e^y,(y^2 - 2y + 2) + C

Passo 7

Reunindo, a função potencial geral é
psi(x,y) = x,y^2 - e^y,(y^2 - 2y + 2),
e a solução implícita da EDO é
psi(x,y) = C

Resposta

x,y^2 ;-; e^y,l(y^2 - 2y + 2r) ;=; C

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