Encontre a solução geral de
, sabendo que
é solução (verifique!). Resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação
sabendo que uma solução é
.
Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos usar o método de redução de ordem para obter uma segunda solução independente .
Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos usar o método de redução de ordem para obter uma segunda solução independente
Passo 2
Verificamos que
é solução. De fato,
logo ao substituir na equação original:
Portanto
satisfaz a EDO.
Passo 3
Dividimos a equação por
para colocá-la na forma padrão
Isso dá
logo
Passo 4
Pela redução de ordem, buscamos
. O teorema fornece
Passo 5
Calculamos
então
Assim
Passo 6
Integramos
:
Desprezamos constante de integração pois ela só daria múltiplo de
.
Passo 7
Construímos
Logo a solução geral é