Encontre a solução geral de (1-t^2) y^prime prime- 2 t y^prime+2 y=0, sabendo que y1(t)=t é solução (verifique!). Resposta: y2(t)=[t2 ln (1+t1-t)-1].

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
(1 - t^2),y'' - 2t,y' + 2y = 0
sabendo que uma solução é y1(t)=t.
Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos usar o método de redução de ordem para obter uma segunda solução independente y2(t).

Passo 2

Verificamos que y1(t)=t é solução. De fato,
y1'(t)=1, y1''(t)=0,
logo ao substituir na equação original:
(1-t^2)cdot 0 -2tcdot1 +2cdot t = -2t +2t = 0
Portanto y1(t)=t satisfaz a EDO.

Passo 3

Dividimos a equação por 1 - t^2 para colocá-la na forma padrão
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
Isso dá
y'' - 2t1 - t^2,y' + 21 - t^2,y = 0,
logo
p(t) = -2t1 - t^2

Passo 4

Pela redução de ordem, buscamos y2 = v(t),y1(t). O teorema fornece
v'(t) = expl(-integral p(t),dtr)y1(t)^2

Passo 5

Calculamos
integral p(t),dt = integral -2t1 - t^2,dt = -lnl(1 - t^2r),
então
expl(-!integral p,dtr) =expl(ln(1 - t^2)r) =1 - t^2
Assim
v'(t) =1 - t^2t^2 =1t^2 + 11 - t^2

Passo 6

Integramos v'(t):
v(t) =integral1t^2,dt + integral11 - t^2,dt =-1t + 12ln!gl(1+t1-tgr)
Desprezamos constante de integração pois ela só daria múltiplo de y1.

Passo 7

Construímos
y2(t)=y1(t),v(t) =tl(-tfrac1t + tfrac12ln!tfrac1+t1-tr) =-1 + t2ln!gl(1+t1-tgr)
Logo a solução geral é
y(t)=C1,y1(t)+C2,y2(t) = C1,t + C2l[t2ln!l(tfrac1+t1-tr)-1r]

Resposta

y(t)=C1,t+C2l[tfract2ln!l(tfrac1+t1-tr)-1r]

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