Seja o campo vetorial F(x, y)=(x+3 y+y^10, 3 x+10 x y^9+ln (1+y^2)) :
Determine integralC F cdot d r onde C é a parte da elipse (x-1)^21^2+y^22^2=1 orientada no sentido horário com y >= 0. Dica: Teorema de Green.

Passo 1

O enunciado pede
determinar integralCvec Fcdot dvec r,
onde
vec F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) =l(x+3y+y^10,;3x+10x y^9+ln(1+y^2)r)
e C é a metade superior da elipse
(x-1)^21^2+y^22^2=1, y>=0,
orientada no sentido horário.
Vamos usar o Teorema de Green fechando C pela porção de reta L no eixo y=0, obter que o integral sobre a curva fechada é zero (pois o “rotacional” é nulo), e daí isolar integralC.

Passo 2

Calculemos o rotacional em duas dimensões:
partial Qpartial x =3+10y^9, partial Ppartial y =3+10y^9,
logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y=0
Isto mostra que vec F é campo conservativo e que, para a curva fechada partial R obtida por Ccup L com orientação horária, vale
ointpartial Rvec Fcdot dvec r=0

Passo 3

Na linha L, unimos de (2,0) a (0,0) sobre y=0. Chamando
Lcolon (x,0),;x varia de 2 a 0,
temos dvec r=(dx,0) e
vec F(x,0)=(x,;3x+ln1)=(x,3x)
Então
integralLvec Fcdot dvec r =integralx=2^0l(x,3xr)cdot(dx,0) =integral2^0x,dx =l[tfracx^22r]2^0 =0-tfrac42=-2

Passo 4

Como no sentido horário
ointpartial Rvec Fcdot dvec r =integralCvec Fcdot dvec r+integralLvec Fcdot dvec r =0,
segue
integralCvec Fcdot dvec r =-integralLvec Fcdot dvec r =-(-2)=2

Resposta

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