Seja o campo vetorial
:
Determine
onde
é a parte da elipse
orientada no sentido horário com
. Dica: Teorema de Green.
Determine
Passo 1
O enunciado pede
determinar ,
onde
determinar
onde
e
é a metade superior da elipse
orientada no sentido horário.
Vamos usar o Teorema de Green fechando pela porção de reta
no eixo
, obter que o integral sobre a curva fechada é zero (pois o “rotacional” é nulo), e daí isolar
.
Vamos usar o Teorema de Green fechando
Passo 2
Calculemos o rotacional em duas dimensões:
logo
Isto mostra que
é campo conservativo e que, para a curva fechada
obtida por
com orientação horária, vale
Passo 3
Na linha
, unimos de
a
sobre
. Chamando
varia de
a
,
temos e
temos
Então
Passo 4
Como no sentido horário
segue