Decida se as séries abaixo convergem ou divergem:
sumn=1^infty sin (1n^2)

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série sumn=1^infty sinl(1/n^2r). O conteúdo envolvido é convergência de séries de termos positivos e vamos precisar usar a expansão de Taylor de sin x para identificar uma comparação com uma série p.

Passo 2

Para x próximo de zero, a expansão de Taylor em primeira ordem é sin x approx x. Aqui tomamos x = 1/n^2, que tende a zero quando ntoinfty. Formalizando pelo teste da comparação limite, calculamos:

Passo 3

Passo 4

Como sum 1/n^2 é uma série p com p=2>1 (logo convergente) e o limite acima é finito e não nulo, pela comparação limite concluímos que sumn=1^infty sinl(1/n^2r) também converge.

Resposta

Converge

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