Considere o campo vetorial em R^3-(0,0,0) definido por
F(x, y, z)=(xraiz(x^2+y^2+z^2)^3, yraiz(x^2+y^2+z^2)^3, zraiz(x^2+y^2+z^2)^3)
Mostre que o divergente de F é zero.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial em R^3setminus(0,0,0)
F(x,y,z)=l(F1,F2,F3r) =l(xraiz(x^2+y^2+z^2)^3,;yraiz(x^2+y^2+z^2)^3,;zraiz(x^2+y^2+z^2)^3r),
e pede para mostrar que nablacdotF=0.
Conteúdo: cálculo de divergente usando regra do produto e cadeia.

Passo 2

Definimos r=raizx^2+y^2+z^2. Então
F1=xr^3, F2=yr^3, F3=zr^3
O divergente é
nablacdotF =partial F1partial x +partial F2partial y +partial F3partial z

Passo 3

Calculamos partial F1/partial x usando a regra do produto xcdot r^-3:
partial F1partial x =partialpartial xl(x,r^-3r) =r^-3+x;partial(r^-3)partial x
Como partial(r^-3)/partial x=-3,r^-4,partial rpartial x =-3,r^-4,xr=-3x,r^-5, vem
partial F1partial x =r^-3+xl(-3x,r^-5r) =r^-3-3x^2,r^-5

Passo 4

Por simetria, aplica-se o mesmo para F2 e F3:
partial F2partial y =r^-3-3y^2,r^-5, partial F3partial z =r^-3-3z^2,r^-5

Passo 5

Somando todas as parcelas:
nablacdotF =l(r^-3-3x^2r^-5r) +l(r^-3-3y^2r^-5r) +l(r^-3-3z^2r^-5r) =3r^-3-3(x^2+y^2+z^2),r^-5
Mas x^2+y^2+z^2=r^2, logo
nablacdotF =3r^-3-3r^2,r^-5 =3r^-3-3r^-3 =0

Resposta

nablacdotF=0.

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