Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica e determine suas negações.
(a) Existe um número real x tal que x^2=2.
(b) Existe um úmero inteiro x tal que x^2 é par ou x^2 é ímpar.
(c) Para cada número real x, existe um número real y tal que x+y=0.
(d) Todo número natural é divisível por 2,3,5 ou 7 .
(e) Para todo número racional x, x é menor que 1 / x.
(f) Se a e b são dois números primos, então a b é primo.
(g) Para todos números reais a e b, existe um número real c que é menor que b e maior que a.

Passo 1

O enunciado pede para cada proposição: (i) traduzi-la para a forma de lógica de predicados usando quantificadores e conectivos, e (ii) escrever sua negação aplicando as regras
negl(exists x,P(x)r)equivforall x,neg P(x), negl(forall x,P(x)r)equivexists x,neg P(x)

Passo 2

Item (a) “Existe um número real x tal que x^2=2”.
Em forma simbólica:
exists xinR,(x^2=2)
Negação, usando negexistsequivforallneg:
negl(exists xinR,(x^2=2)r) equiv forall xinR,(x^2neq2)

Passo 3

Item (b) “Existe um número inteiro x tal que x^2 é par ou x^2 é ímpar.”
Em forma simbólica:
exists xinZ,l(Par(x^2)lor Ímpar(x^2)r) Í
Negação, com neg(exists)equivforallneg e De Morgan:
negl(exists xinZ,(Par(x^2)lor Ímpar(x^2))r) equiv forall xinZ,l(negPar(x^2)land negÍmpar(x^2)r) ÍÍ

Passo 4

Item (c) “Para cada número real x, existe um número real y tal que x+y=0.”
Em forma simbólica:
forall xinR,exists yinR,(x+y=0)
Negação, aplicando primeiro negforallequivexistsneg e depois negexistsequivforallneg:
negl(forall x,exists y,(x+y=0)r) equiv exists xinR,negl(exists yinR,(x+y=0)r) equiv exists xinR,forall yinR,(x+yneq0)

Passo 5

Item (d) “Todo número natural é divisível por 2, 3, 5 ou 7.”
Em forma simbólica:
forall ninN,l(2mid n;lor;3mid n;lor;5mid n;lor;7mid nr)
Negação, com negforallequivexistsneg e De Morgan:
negl(forall n,(,2mid nlor3mid nlor5mid nlor7mid n)r) equiv exists ninN,l(neg(2mid n)landneg(3mid n)landneg(5mid n)landneg(7mid n)r)

Passo 6

Item (e) “Para todo número racional x, x é menor que 1/x.”
Em forma simbólica:
forall xinQ,l(x<tfrac1xr)
Negação, usando negforallequivexistsneg:
negl(forall xinQ,(x<tfrac1x)r) equiv exists xinQ,l(x>=tfrac1xr)

Passo 7

Item (f) “Se a e b são dois números primos, então ab é primo.”
Em forma simbólica (domínio implícito: números inteiros):
forall a,forall b;l(Primo(a)landPrimo(b)toPrimo(a b)r)
Negação, com negforallequivexistsneg e neg(Ato B)equiv Alandneg B:
negl(forall a,forall b,(Primo(a)landPrimo(b)toPrimo(ab))r) equiv exists a,exists b;l(Primo(a)landPrimo(b)landnegPrimo(a b)r)

Passo 8

Item (g) “Para todos números reais a e b, existe um número real c que é menor que b e maior que a.”
Em forma simbólica:
forall ainR,forall binR,exists cinR,(a<cland c<b)
Negação, usando negforallequivexistsneg e negexistsequivforallneg:
negl(forall a,forall b,exists c,(a<cland c<b)r) equiv exists ainR,exists binR,forall cinR,l(a>= clor c>= br)

Resposta

(a) exists xinR,(x^2=2);
forall xinR,(x^2neq2).
(b) exists xinZ,(Par(x^2)lor Ímpar(x^2))Í;
forall xinZ,(negPar(x^2)landnegÍmpar(x^2))Í.
(c) forall xinR,exists yinR,(x+y=0);
exists xinR,forall yinR,(x+yneq0).
(d) forall ninN,(2mid nlor3mid nlor5mid nlor7mid n);
exists ninN,(neg2mid nlandneg3mid nlandneg5mid nlandneg7mid n).
(e) forall xinQ,(x<tfrac1x);
exists xinQ,(x>=tfrac1x).
(f) forall a,forall b,(Primo(a)landPrimo(b)toPrimo(ab));
exists a,exists b,(Primo(a)landPrimo(b)landnegPrimo(ab)).
(g) forall aforall b,exists c,(a<cland c<b);
exists aexists b,forall c,(a>= clor c>= b).

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