Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica e determine suas negações.
(a) Existe um número real
tal que
.
(b) Existe um úmero inteiro
tal que
é par ou
é ímpar.
(c) Para cada número real
, existe um número real
tal que
.
(d) Todo número natural é divisível por
ou 7 .
(e) Para todo número racional
é menor que
.
(f) Se
e
são dois números primos, então
é primo.
(g) Para todos números reais
e
, existe um número real
que é menor que
e maior que
.
(a) Existe um número real
(b) Existe um úmero inteiro
(c) Para cada número real
(d) Todo número natural é divisível por
(e) Para todo número racional
(f) Se
(g) Para todos números reais
Passo 1
O enunciado pede para cada proposição: (i) traduzi-la para a forma de lógica de predicados usando quantificadores e conectivos, e (ii) escrever sua negação aplicando as regras
Passo 2
Item (a) “Existe um número real
tal que
”.
Em forma simbólica:
Em forma simbólica:
Negação, usando
:
Passo 3
Item (b) “Existe um número inteiro
tal que
é par ou
é ímpar.”
Em forma simbólica:
Em forma simbólica:
Negação, com
e De Morgan:
Passo 4
Item (c) “Para cada número real
, existe um número real
tal que
.”
Em forma simbólica:
Em forma simbólica:
Negação, aplicando primeiro
e depois
:
Passo 5
Item (d) “Todo número natural é divisível por 2, 3, 5 ou 7.”
Em forma simbólica:
Em forma simbólica:
Negação, com
e De Morgan:
Passo 6
Item (e) “Para todo número racional
,
é menor que
.”
Em forma simbólica:
Em forma simbólica:
Negação, usando
:
Passo 7
Item (f) “Se
e
são dois números primos, então
é primo.”
Em forma simbólica (domínio implícito: números inteiros):
Em forma simbólica (domínio implícito: números inteiros):
Negação, com
e
:
Passo 8
Item (g) “Para todos números reais
e
, existe um número real
que é menor que
e maior que
.”
Em forma simbólica:
Em forma simbólica:
Negação, usando
e
:
Resposta
(a)
;
.
(b) ;
.
(c) ;
.
(d) ;
.
(e) ;
.
(f) ;
.
(g) ;
.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)