Determine se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes. Caso seja converte determine o valor a integral.
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a integral imprópria \r
que tem singularidade em
. O conteúdo é “integrais impróprias com singularidade interna” e vamos usar a definição de integral imprópria, o teste de tipo
para singularidades e o cálculo da antiderivada por regra de potência.
Passo 2
Dividimos em duas integrais propriamente ditas:\r
Perto de
ambas se comportam como
. Como o expoente
, o “p-teste” nos garante que cada parte converge.
Passo 3
Calcular a antiderivada geral de
. Usando regra de potência:\r
%
Passo 4
Usamos a mesma primitiva
para as duas partes, lembrando que \r
Então \r
%\r
Como \r
%\r
segue que\r
%
Resposta
A integral converge e vale \r