Considere o campo vetorial
.
(a) Determine uma função potencial para
.
(a) Determine uma função potencial para
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede uma função potencial tal que
e pede uma função potencial
Como o domínio é
(simplesmente conexo) e as componentes de
têm derivadas parciais contínuas, sabemos que existe
e basta integrar as componentes de
.
Passo 2
Integrando a primeira componente
em relação a , obtemos
em relação a
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 3
Diferenciando essa expressão em relação a
dá
Como deve coincidir com a segunda componente de
, que é
, concluímos
Integrando em
,
com
puro de
.
Passo 4
Agora diferenciamos
completa em relação a
:
Isso deve igualar a terceira componente de
, que é
. Logo
e
é constante.
Resposta
Uma função potencial é
onde
é constante arbitrária.