Considere o campo vetorial F(x, y, z)=(2 x y z+1, x^2 z+z, x^2 y+y).
(a) Determine uma função potencial para F.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z)=(2xyz+1,;x^2z+z,;x^2y+y)
e pede uma função potencial phi(x,y,z) tal que
nabla phi = vec F
Como o domínio é R^3 (simplesmente conexo) e as componentes de vec F têm derivadas parciais contínuas, sabemos que existe phi e basta integrar as componentes de vec F.

Passo 2

Integrando a primeira componente
partial phipartial x=2xyz+1
em relação a x, obtemos
phi(x,y,z)=integral(2xyz+1),dx = x^2yz + x + C(y,z),
onde C(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 3

Diferenciando essa expressão em relação a y
partial phipartial y = x^2z + partial Cpartial y(y,z)
Como deve coincidir com a segunda componente de vec F, que é x^2z+z, concluímos
partial Cpartial y(y,z)=z
Integrando em y,
C(y,z)=yz + D(z),
com D(z) puro de z.

Passo 4

Agora diferenciamos phi completa em relação a z:
partial phipartial z = x^2y + y + D'(z)
Isso deve igualar a terceira componente de vec F, que é x^2y+y. Logo
D'(z)=0
e D(z) é constante.

Resposta

Uma função potencial é
phi(x,y,z)=x^2yz + x + yz + C,
onde C é constante arbitrária.

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