Sendo F(x, y, z)=(x, 0, y z^2) e C o segmento de reta de A=(1,2,3) a B=(0,1,2), calcule
integralC F cdot d r

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha
integralCFcdot dr
para o campo vetorial F(x,y,z)=(x,0,yz^2) ao longo do segmento de reta de A=(1,2,3) até B=(0,1,2).
Conteúdo: integral de linha de um campo vetorial, que se resolve parametrizando a curva e calculando F(r(t))cdot r,'(t).

Passo 2

Parametrizamos o segmento unindo A a B por
r(t) = A + t,(B - A) = (1-t,;2-t,;3-t), tin[0,1]
Logo,
dr = r,'(t),dt = (-1,-1,-1),dt

Passo 3

Substituindo na definição de F:
F(r(t)) = l(x(t),,0,,y(t),z(t)^2r) = l(1-t,;0,;(2-t),(3-t)^2r)

Passo 4

O produto escalar é
F(r(t))cdot r,'(t) = (1-t)(-1) + 0cdot(-1) + (2-t)(3-t)^2cdot(-1)
Expandindo (3-t)^2=9-6t+t^2 e depois (2-t)(9-6t+t^2), obtemos
(2-t)(3-t)^2 = 18 -21t +8t^2 - t^3,
então
Fcdot dr = -,(1-t);-;(18 -21t +8t^2 - t^3) = -19 +22t -8t^2 + t^3

Passo 5

O integral fica
integralCFcdot dr = integral0^1l(-19 +22t -8t^2 + t^3r),dt
Uma primitiva é
-19t + 11t^2 - 83t^3 + 14t^4

Passo 6

Avaliamo-la entre 0 e 1:
l[-19t + 11t^2 - tfrac83t^3 + tfrac14t^4r]0^1 = -19 +11 - 83 + 14 = -12512

Resposta

integralCFcdot dr = -12512

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