Considere o campo vetorial
Encontre o campo escalar
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial dado por
O objetivo é encontrar um campo escalar
tal que
. Isso significa que queremos achar uma função
cuja gradiente é igual ao nosso campo vetorial
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração de componentes do gradiente.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a gradiente de
é dada por:
Comparando com o nosso
, temos:
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
para encontrar
:
onde
é uma função arbitrária que pode depender de
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
. Para isso, vamos usar a segunda componente da gradiente:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando às duas expressões:
Simplificando, vemos que:
Integrando em relação a
:
onde
é outra função arbitrária que pode depender apenas de
.
Passo 4
Por fim, vamos determinar
usando a terceira componente da gradiente:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando às duas expressões:
Simplificando, temos:
Integrando em relação a
:
onde
é a constante de integração. Podemos ignorar
pois estamos procurando apenas uma função potencial.
Resposta
Portanto, o campo escalar
é dado por: