Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=(x+y z) i+(y+x z) j+(z+x y) k
Encontre o campo escalar f(x, y, z) tal que F=nabla f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial dado por
F(x, y, z) = (x + y z) i + (y + x z) j + (z + x y) k
O objetivo é encontrar um campo escalar f(x, y, z) tal que F = nabla f. Isso significa que queremos achar uma função f cuja gradiente é igual ao nosso campo vetorial F. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração de componentes do gradiente.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a gradiente de f é dada por:
nabla f = ( partial fpartial x ) i + ( partial fpartial y ) j + ( partial fpartial z ) k
Comparando com o nosso F, temos:
partial fpartial x = x + y z
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x para encontrar f :
f(x, y, z) = integral (x + y z) , dx = 12x^2 + y z x + h(y, z),
onde h(y, z) é uma função arbitrária que pode depender de y e z .

Passo 3

Agora, vamos encontrar h(y, z) . Para isso, vamos usar a segunda componente da gradiente:
partial fpartial y = y + x z
Calculando a derivada de f em relação a y :
partial fpartial y = z x + partial hpartial y
Igualando às duas expressões:
z x + partial hpartial y = y + x z
Simplificando, vemos que:
partial hpartial y = y
Integrando em relação a y :
h(y, z) = 12y^2 + g(z),
onde g(z) é outra função arbitrária que pode depender apenas de z .

Passo 4

Por fim, vamos determinar g(z) usando a terceira componente da gradiente:
partial fpartial z = z + x y
Calculando a derivada de f em relação a z :
partial fpartial z = x y + partial hpartial z
Igualando às duas expressões:
x y + partial hpartial z = z + x y
Simplificando, temos:
partial hpartial z = z
Integrando em relação a z :
h(y, z) = 12y^2 + 12z^2 + C,
onde C é a constante de integração. Podemos ignorar C pois estamos procurando apenas uma função potencial.

Resposta

Portanto, o campo escalar f(x, y, z) é dado por:
f(x, y, z) = 12x^2 + x y z + 12y^2 + 12z^2

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