Determine uma substituição trigonométrica apropriada.
Aplique a substituição para transformar a integral em uma integral trigonométrica. Não é necessário calcular a integral.
integral x^3raiz9-x^2 d x

Passo 1

Então, temos essa integral para resolver usando substituição trigonométrica:
integral x^3raiz9 - x^2 , dx
Vamos usar técnicas de substituição trigonométrica, que são ótimas para integrais envolvendo expressões como raiza^2 - x^2. Precisamos identificar qual substituição vai simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que dentro da raiz temos 9 - x^2, que se encaixa na forma raiza^2 - x^2 com a = 3. A substituição trigonométrica adequada para essa forma é:
x = 3 sin theta
Isso ajuda a transformar a expressão radical em algo mais manejável usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Agora, vamos derivar x em relação a theta para encontrar dx:
dx = 3 cos theta , dtheta
Isso vai substituir o diferencial dx na integral original.

Passo 4

Substituímos x e dx na integral:
integral (3 sin theta)^3raiz9 - (3 sin theta)^2 cdot 3 cos theta , dtheta
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz9 - 9 sin^2 theta = raiz9(1 - sin^2 theta) = 3 cos theta
Isso ocorre porque 1 - sin^2 theta = cos^2 theta, e raiz9 cos^2 theta = 3 cos theta, assumindo cos theta >= 0.

Passo 6

Substituindo de volta na integral, temos:
integral 27 sin^3 theta3 cos theta cdot 3 cos theta , dtheta = integral 27 sin^3 theta , dtheta
As partes que dependem de cos theta se cancelam, simplificando bastante a integral.

Resposta

Após a substituição trigonométrica, a integral fica:
integral 27 sin^3 theta , dtheta

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