Determine uma substituição trigonométrica apropriada.
Aplique a substituição para transformar a integral em uma integral trigonométrica. Não é necessário calcular a integral.
Aplique a substituição para transformar a integral em uma integral trigonométrica. Não é necessário calcular a integral.
Passo 1
Então, temos essa integral para resolver usando substituição trigonométrica:
Vamos usar técnicas de substituição trigonométrica, que são ótimas para integrais envolvendo expressões como
. Precisamos identificar qual substituição vai simplificar essa integral.
Passo 2
Primeiro, observamos que dentro da raiz temos
, que se encaixa na forma
com
. A substituição trigonométrica adequada para essa forma é:
Isso ajuda a transformar a expressão radical em algo mais manejável usando identidades trigonométricas.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso vai substituir o diferencial
na integral original.
Passo 4
Substituímos
e
na integral:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Isso ocorre porque
, e
, assumindo
.
Passo 6
Substituindo de volta na integral, temos:
As partes que dependem de
se cancelam, simplificando bastante a integral.
Resposta
Após a substituição trigonométrica, a integral fica: