Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=(x+y z) i+(y+x z) j+(z+x y) k
Mostre que o campo F é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial $ F(x, y, z) = (x + yz)\mathbf{i} + (y + xz)\mathbf{j} + (z + xy)\mathbf{k} $ é conservativo. Isso está ligado aos conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e o teste do rotacional. Vamos precisar calcular o rotacional de $ F $ para verificar se ele é zero, o que indicaria que $ F $ é realmente conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por $ \nabla \times F $, nos ajuda a entender se o campo possui alguma “torção”. Se o rotacional for zero em todos os pontos do domínio, então o campo é conservativo. A fórmula para calcular o rotacional é:
nabla times F

Passo 3

Vamos identificar as componentes de $ F $:
F
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária para o rotacional.
Primeiro, para a componente $ \mathbf{i} $:
Fx = x + yz Fy = y + xz Fz = z + xy
Para a componente $ \mathbf{j} $:
i
Para a componente $ \mathbf{k} $:
partial Fzpartial y = partialpartial y(z + xy) = x partial Fypartial z = partialpartial z(y + xz) = x

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
nabla times F = (x - x)i + (y - y)j + (z - z)k = 0i + 0j + 0k = 0

Passo 5

Como o rotacional de $ F $ é zero em todas as componentes, podemos concluir que o campo vetorial $ F $ é conservativo.

Resposta

O campo vetorial $ F $ é conservativo porque seu rotacional é zero.

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