Considere o campo vetorial
Mostre que o campo
é conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial $ F(x, y, z) = (x + yz)\mathbf{i} + (y + xz)\mathbf{j} + (z + xy)\mathbf{k} $ é conservativo. Isso está ligado aos conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e o teste do rotacional. Vamos precisar calcular o rotacional de $ F $ para verificar se ele é zero, o que indicaria que $ F $ é realmente conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por $ \nabla \times F $, nos ajuda a entender se o campo possui alguma “torção”. Se o rotacional for zero em todos os pontos do domínio, então o campo é conservativo. A fórmula para calcular o rotacional é:
Passo 3
Vamos identificar as componentes de $ F $:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária para o rotacional.
Primeiro, para a componente $ \mathbf{i} $:
Para a componente $ \mathbf{j} $:
Para a componente $ \mathbf{k} $:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
Passo 5
Como o rotacional de $ F $ é zero em todas as componentes, podemos concluir que o campo vetorial $ F $ é conservativo.
Resposta
O campo vetorial $ F $ é conservativo porque seu rotacional é zero.