Determine uma substituição trigonométrica apropriada.
Aplique a substituição para transformar a integral em uma integral trigonométrica. Não é necessário calcular a integral.
Aplique a substituição para transformar a integral em uma integral trigonométrica. Não é necessário calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral que pede para determinar uma substituição trigonométrica apropriada e, depois, aplicar essa substituição para transformar a integral em uma integral trigonométrica. O conteúdo que vamos usar aqui é substituição trigonométrica, que é uma técnica para resolver integrais que envolvem expressões quadráticas. Vamos precisar identificar qual substituição trigonométrica usar para simplificar a integral dada.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a integral que temos:
Observamos que no denominador temos
, que se parece com a forma
. Isso nos sugere usar uma substituição trigonométrica que lide com expressões da forma
.
Passo 3
Para expressões que envolvem
sob uma raiz quadrada, a substituição trigonométrica apropriada é:
Isso porque
, o que simplifica a raiz quadrada.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Simplificamos o denominador usando a identidade trigonométrica:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, a integral ficou numa forma trigonométrica:
Essa é uma integral que, embora ainda possa ser resolvida, não precisamos calcular no momento, pois o exercício pede apenas para transformar a integral em uma integral trigonométrica usando a substituição adequada.
Resposta
A substituição trigonométrica indicada é
, e após a substituição, a integral se transforma em: