Determine uma substituição trigonométrica apropriada.
Aplique a substituição para transformar a integral em uma integral trigonométrica. Não é necessário calcular a integral.
integral x^3raiz1+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral que pede para determinar uma substituição trigonométrica apropriada e, depois, aplicar essa substituição para transformar a integral em uma integral trigonométrica. O conteúdo que vamos usar aqui é substituição trigonométrica, que é uma técnica para resolver integrais que envolvem expressões quadráticas. Vamos precisar identificar qual substituição trigonométrica usar para simplificar a integral dada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral que temos:
integral x^3raiz1+x^2 , dx
Observamos que no denominador temos raiz1 + x^2, que se parece com a forma raiz1 + x^2. Isso nos sugere usar uma substituição trigonométrica que lide com expressões da forma 1 + x^2.

Passo 3

Para expressões que envolvem 1 + x^2 sob uma raiz quadrada, a substituição trigonométrica apropriada é:
x = tan(theta)
Isso porque 1 + tan^2(theta) = sec^2(theta), o que simplifica a raiz quadrada.

Passo 4

Vamos fazer a substituição x = tan(theta). Então, derivando ambos os lados em relação a theta:
dx = sec^2(theta) , dtheta
Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral tan^3(theta)raiz1 + tan^2(theta) cdot sec^2(theta) , dtheta

Passo 5

Simplificamos o denominador usando a identidade trigonométrica:
raiz1 + tan^2(theta) = raizsec^2(theta) = sec(theta)
Substituindo de volta na integral:
integral tan^3(theta)sec(theta) cdot sec^2(theta) , dtheta = integral tan^3(theta) cdot sec(theta) , dtheta

Passo 6

Agora, a integral ficou numa forma trigonométrica:
integral tan^3(theta) cdot sec(theta) , dtheta
Essa é uma integral que, embora ainda possa ser resolvida, não precisamos calcular no momento, pois o exercício pede apenas para transformar a integral em uma integral trigonométrica usando a substituição adequada.

Resposta

A substituição trigonométrica indicada é x = tan(theta), e após a substituição, a integral se transforma em:
integral tan^3(theta) cdot sec(theta) , dtheta

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