Considere o campo vetorial
F(x, y)=x^2 y^3 i+x^3 y^2
Encontre a função potencial f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por F(x, y) = x^2 y^3 i + x^3 y^2 j e precisamos encontrar a função potencial f . Isso está relacionado ao conceito de campos conservativos na matemática, especialmente em cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos integrar as componentes do campo vetorial para encontrar f .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a função potencial f satisfaz nabla f = F . Isso significa que as derivadas parciais de f em relação a x e y devem ser iguais às componentes de F . Ou seja:
partial fpartial x = x^2 y^3 e partial fpartial y = x^3 y^2

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a x :
f(x, y) = integral x^2 y^3 , dx = x^33 y^3 + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y , já que a derivada em relação a x anula qualquer função que seja apenas de y .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação partial fpartial y = x^3 y^2 e substituir f(x, y) que encontramos:
partialpartial y ( x^33 y^3 + g(y) ) = x^3 y^2 + g'(y) = x^3 y^2
Isso implica que g'(y) = 0 , ou seja, g(y) é uma constante.

Passo 5

Como g(y) é uma constante, podemos dizer que g(y) = C . Portanto, a função potencial f fica:
f(x, y) = x^33 y^3 + C

Resposta

A função potencial é f(x, y) = dfracx^33 y^3 + C , onde C é uma constante.

Exercícios relacionados