Considere o campo vetorial
Encontre a função potencial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por
e precisamos encontrar a função potencial
. Isso está relacionado ao conceito de campos conservativos na matemática, especialmente em cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos integrar as componentes do campo vetorial para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a função potencial
satisfaz
. Isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
e
devem ser iguais às componentes de
. Ou seja:
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a derivada em relação a
anula qualquer função que seja apenas de
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação
e substituir
que encontramos:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante.
Passo 5
Como
é uma constante, podemos dizer que
. Portanto, a função potencial
fica:
Resposta
A função potencial é
, onde
é uma constante.