Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule:
partial zpartial t, partial zpartial s e partial wpartial t, partial wpartial s e partial wpartial r
z=e^yx, x=2 s cos (t), y=4 s sen(t)

Passo 1

O enunciado dá
  • z=f(x,y) com
z = e^yx,
  • as variáveis intermediárias
x = 2scos(t), y = 4ssen(t),
e pede partial zpartial t,partial zpartial s e também partial wpartial t,partial wpartial s,partial wpartial r para w=f(x,y,z).
Para resolver a parte de z vamos usar a regra da cadeia
partial zpartial t = zx,partial xpartial t+zy,partial ypartial t, partial zpartial s = zx,partial xpartial s+zy,partial ypartial s,
once
zx = partial partial xe^yx =e^yxl(-yx^2r), zy = partial partial ye^yx =e^yx1x

Passo 2

Calcular as derivadas de x e y:
partial xpartial t =2sl(-sen(t)r)=-2ssen(t), partial ypartial t =4scos(t),
partial xpartial s =2cos(t), partial ypartial s =4sen(t)

Passo 3

Aplicando a cadeia em partial zpartial t:
partial zpartial t =e^yxl(-yx^2r)(-2ssen t) +e^yx1x(4scos t)
Colocando em evidência e^yx e juntando termos no numerador:
partial zpartial t =e^yx1x^2l(2s y,sen t +4s xcos tr)
Mas x=2scos t e y=4ssen t, logo
2s,y,sen t +4s,xcos t =2scdot4ssen tcdotsen t+4scdot2scos tcdotcos t =8s^2(sen^2t+cos^2t)=8s^2
E x^2=(2scos t)^2=4s^2cos^2t. Assim
partial zpartial t =e^yx8s^24s^2cos^2t =2,e^yxsec^2t
Além disso yx=4ssen t2scos t=2tan t, então
partial zpartial t =2,e^2tan tsec^2t
Para partial zpartial s:
partial zpartial s =e^yxl(-yx^2r)(2cos t) +e^yx1x(4sen t)
Numerador:
-2ycos t +4xsen t =-2cdot4ssen tcos t+4cdot2scos tsen t =0,
logo
partial zpartial s=0

Passo 4

Para partial wpartial t,partial wpartial s,partial wpartial r seria preciso a expressão explícita de w=f(x,y,z). Como ela não foi dada, não há como calcular essas derivadas.

Resposta

partial zpartial t=2,e^2tan tsec^2t, partial zpartial s=0
Para partial wpartial t,;partial wpartial s,;partial wpartial r não é possível obter resultado pois w não foi especificada.

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